1. **Δίνεται το πρόβλημα:** Έχουμε τις εξισώσεις $x + y = 19$ και $x^3 + y^3 = 6346$. Πρέπει να βρούμε την τιμή του αριθμού $$A = \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{y\sqrt{x} + x\sqrt{y}}.$$ 2. **Χρήσιμες σχέσεις και κανόνες:** Η ταυτότητα για το άθροισμα κύβων είναι: $$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2).$$ Επίσης, από το $x + y = 19$ μπορούμε να βρούμε το $xy$ χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αθροίσματος: $$ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 19^2 = 361.$$ 3. **Υπολογισμοί:** Αρχικά, από την ταυτότητα: $$6346 = 19(x^2 - xy + y^2) \Rightarrow x^2 - xy + y^2 = \frac{6346}{19} = 334.$$ Επίσης, $$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 361 - 2xy.$$ Άρα, $$x^2 - xy + y^2 = (x^2 + y^2) - xy = (361 - 2xy) - xy = 361 - 3xy.$$ Ισοσταθμίζοντας: $$361 - 3xy = 334 \Rightarrow 3xy = 361 - 334 = 27 \Rightarrow xy = 9.$$ 4. **Εύρεση $x$ και $y$:** Τα $x$ και $y$ είναι ρίζες της εξίσωσης: $$t^2 - (x + y)t + xy = 0 \Rightarrow t^2 - 19t + 9 = 0.$$ Οπότε, $$t = \frac{19 \pm \sqrt{19^2 - 4 \cdot 9}}{2} = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 36}}{2} = \frac{19 \pm \sqrt{325}}{2}.$$ 5. **Υπολογισμός του $A$:** Ορίζουμε $a = \sqrt{x}$ και $b = \sqrt{y}$, άρα $x = a^2$ και $y = b^2$. Τότε, $$A = \frac{x a + y b}{y a + x b} = \frac{a^3 + b^3}{b a^2 + a b^2} = \frac{a^3 + b^3}{ab(a + b)}.$$ 6. **Απλοποίηση του αριθμητή:** Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).$$ Άρα, $$A = \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{ab(a + b)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab}.$$ Αφού $a + b \neq 0$, μπορούμε να ακυρώσουμε το $(a + b)$. 7. **Εκφράζουμε $A$ με $a$ και $b$:** $$A = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab} = \frac{a^2}{ab} - \frac{ab}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a}{b} - 1 + \frac{b}{a}.$$ 8. **Εκφράζουμε $A$ με $x$ και $y$:** Επειδή $a = \sqrt{x}$ και $b = \sqrt{y}$, $$A = \sqrt{\frac{x}{y}} - 1 + \sqrt{\frac{y}{x}}.$$ 9. **Υπολογισμός $\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}$:** $$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{\sqrt{x^2} + \sqrt{y^2}}{\sqrt{xy}} = \frac{x + y}{\sqrt{xy}} = \frac{19}{\sqrt{9}} = \frac{19}{3}.$$ 10. **Τελικό αποτέλεσμα:** $$A = \left(\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}}\right) - 1 = \frac{19}{3} - 1 = \frac{19}{3} - \frac{3}{3} = \frac{16}{3}.$$ **Άρα, η τιμή του αριθμού $A$ είναι** $$\boxed{\frac{16}{3}}.$$