1. Задача: Найти значение выражения $$\sqrt{5+\sqrt{24}} + \sqrt{5-\sqrt{24}}$$. 2. Формула и идея: Чтобы упростить выражение вида $$\sqrt{a+\sqrt{b}} + \sqrt{a-\sqrt{b}}$$, можно предположить, что оно равно некоторому числу $$x$$, и затем возвести в квадрат, чтобы избавиться от корней. 3. Обозначим: $$x = \sqrt{5+\sqrt{24}} + \sqrt{5-\sqrt{24}}$$ 4. Возводим в квадрат обе части: $$x^2 = \left(\sqrt{5+\sqrt{24}} + \sqrt{5-\sqrt{24}}\right)^2$$ 5. Раскрываем квадрат суммы: $$x^2 = (5+\sqrt{24}) + (5-\sqrt{24}) + 2 \cdot \sqrt{(5+\sqrt{24})(5-\sqrt{24})}$$ 6. Упрощаем сумму под корнями: $$(5+\sqrt{24}) + (5-\sqrt{24}) = 5 + 5 = 10$$ 7. Умножаем подкоренные выражения: $$(5+\sqrt{24})(5-\sqrt{24}) = 5^2 - (\sqrt{24})^2 = 25 - 24 = 1$$ 8. Подставляем обратно: $$x^2 = 10 + 2 \cdot \sqrt{1} = 10 + 2 \cdot 1 = 12$$ 9. Следовательно: $$x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$ Ответ: $$\sqrt{5+\sqrt{24}} + \sqrt{5-\sqrt{24}} = 2\sqrt{3}$$.