1. Problema: Verificați dacă mulțimea M = {0,1,2,3,4,5} este parte stabilă a mulțimii Z față de legea de compoziție dată. 2. Definiție: O mulțime M este parte stabilă față de o lege de compoziție * dacă pentru orice x, y ∈ M, rezultatul x * y aparține tot mulțimii M. 3. a) Pentru x * y = min{x,y}: - Minimul a două elemente din M este tot în M. - Exemplu: min{3,5} = 3 ∈ M. - Deci M este parte stabilă. 4. b) Pentru x * y = max{x,y}: - Maximul a două elemente din M este tot în M. - Exemplu: max{2,4} = 4 ∈ M. - Deci M este parte stabilă. 5. c) Pentru x * y = max{x,y} - min{x,y}: - Diferența maxim-minim este un număr între 0 și 5. - Exemplu: max{1,4} - min{1,4} = 4 - 1 = 3 ∈ M. - Deci M este parte stabilă. 6. d) Pentru x * y = c.m.m.d.c.{x,y} (cel mai mare divizor comun): - c.m.m.d.c. este întotdeauna un divizor al ambilor numere. - Exemplu: c.m.m.d.c.{4,6} = 2 ∈ M. - Deoarece M conține 0 și 1, și toate divizorii posibili ai elementelor din M sunt în M, M este parte stabilă. 7. e) Pentru x * y = c.m.m.m.c.{x,y} (cel mai mic multiplu comun): - c.m.m.m.c. poate depăși 5 (ex: c.m.m.m.c.{4,5} = 20 ∉ M). - Deci M nu este parte stabilă. 8. f) Pentru x * y = (x + y) mod 6: - Rezultatul este întotdeauna în {0,...,5}. - Deci M este parte stabilă. 9. g) Pentru x * y = (xy) mod 6: - Produsul modulo 6 este în {0,...,5}. - Deci M este parte stabilă. 10. h) Pentru x * y = { min{x,y} dacă x ≥ y; max{x,y} dacă x < y }: - Rezultatul este întotdeauna un element din M. - Deci M este parte stabilă. 11. i) Pentru x * y = { min{x,y} dacă x + y ≤ 5; max{x,y} dacă x + y > 5 }: - Minimul și maximul sunt în M. - Deci M este parte stabilă. Răspuns final: M este parte stabilă pentru legile a), b), c), d), f), g), h), i) și nu este parte stabilă pentru legea e).