1. **Stel het probleem vast:** We hebben de hoogte van een steen die verticaal omhoog wordt geschoten vanaf een toren, gegeven door de formule $$h(t) = -5t^2 + 20t + 65$$ waarbij $h(t)$ de hoogte in meters is en $t$ de tijd in seconden. 2. **Bepaal de beginhoogte:** De steen wordt weggeschoten vanaf de hoogte bij $t=0$. $$h(0) = -5 \times 0^2 + 20 \times 0 + 65 = 65$$ Dus, de steen wordt weggeschoten vanaf **65 meter**. 3. **Bepaal de hoogte na 5 seconden:** $$h(5) = -5 \times 5^2 + 20 \times 5 + 65 = -5 \times 25 + 100 + 65 = -125 + 100 + 65 = 40$$ Na 5 seconden is de steen **40 meter** hoog. 4. **Bepaal de tijd waarop de steen zijn maximale hoogte bereikt:** De formule is een kwadratische functie met negatieve $a$-coëfficiënt, dus de maximale hoogte is het toppunt van de parabool. De tijd van het toppunt is gegeven door: $$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$$ 5. **Bepaal de maximale hoogte:** $$h(2) = -5 \times 2^2 + 20 \times 2 + 65 = -5 \times 4 + 40 + 65 = -20 + 40 + 65 = 85$$ De maximale hoogte is **85 meter** na **2 seconden**. 6. **Bepaal de tijd waarop de steen 45 meter hoog is:** Los op voor $t$ in: $$-5t^2 + 20t + 65 = 45$$ Breng alles naar één kant: $$-5t^2 + 20t + 65 - 45 = 0$$ $$-5t^2 + 20t + 20 = 0$$ Deel door $-5$: $$\cancel{-5}t^2 + \cancel{-5} \times (-4)t + \cancel{-5} \times (-4) = 0 \Rightarrow t^2 - 4t - 4 = 0$$ Los de kwadratische vergelijking op met de abc-formule: $$t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2}$$ $$\sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66$$ Dus: $$t_1 = \frac{4 - 5.66}{2} = \frac{-1.66}{2} = -0.83$$ (negatief, niet relevant) $$t_2 = \frac{4 + 5.66}{2} = \frac{9.66}{2} = 4.83$$ De steen is 45 meter hoog na ongeveer **4.83 seconden**. 7. **Verloopschema (schematische voorstelling):** | $t$ (s) | 0 | 2 | 4.83 | 5 | |---------|---|---|------|---| | $h(t)$ (m) | 65 | 85 (max) | 45 | 40 | **Samenvatting:** - De steen wordt weggeschoten vanaf **65 m**. - Na 5 seconden is de steen **40 m** hoog. - De maximale hoogte is **85 m** na **2 seconden**. - De steen is 45 m hoog na ongeveer **4.83 seconden**.