1. Il problema richiede di studiare il segno della funzione $$f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 3}$$. 2. Per studiare il segno di una frazione, dobbiamo analizzare il segno del numeratore e del denominatore separatamente. 3. Numeratore: $$x^3$$. Il segno di $$x^3$$ dipende dal segno di $$x$$: - Se $$x > 0$$, allora $$x^3 > 0$$. - Se $$x = 0$$, allora $$x^3 = 0$$. - Se $$x < 0$$, allora $$x^3 < 0$$. 4. Denominatore: $$x^2 + 3$$. Poiché $$x^2 \geq 0$$ per ogni $$x$$ e $$3 > 0$$, allora $$x^2 + 3 > 0$$ per ogni $$x$$. 5. Quindi il denominatore è sempre positivo e non si annulla mai, quindi la funzione è definita per ogni $$x$$. 6. Il segno di $$f(x)$$ dipende solo dal segno del numeratore: - Se $$x > 0$$, $$f(x) > 0$$. - Se $$x = 0$$, $$f(x) = 0$$. - Se $$x < 0$$, $$f(x) < 0$$. 7. Riassumendo: $$f(x) > 0 \quad \text{se} \quad x > 0$$ $$f(x) = 0 \quad \text{se} \quad x = 0$$ $$f(x) < 0 \quad \text{se} \quad x < 0$$ Risposta finale: la funzione è negativa per $$x < 0$$, nulla in $$x=0$$, e positiva per $$x > 0$$.