1. **Énoncé du problème :** Soit la suite arithmétique $(U_n)_{n\geq 1}$ telle que $U_5 = -12$ et $U_{11} = -30$. On doit : a) Calculer la raison $r$ et le premier terme $U_1$. b) Exprimer $U_n$ en fonction de $n$. c) Calculer la somme $S = U_5 + U_6 + \cdots + U_{11}$. 2. **Formule et règles importantes :** - Pour une suite arithmétique, $U_n = U_1 + (n-1)r$. - La raison $r = U_{m} - U_{k} / (m-k)$. - La somme des termes de $U_p$ à $U_q$ est $S = \frac{(q-p+1)(U_p + U_q)}{2}$. 3. **Calcul de la raison $r$ :** $$r = \frac{U_{11} - U_5}{11 - 5} = \frac{-30 - (-12)}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$ 4. **Calcul du premier terme $U_1$ :** On utilise $U_5 = U_1 + 4r$ donc $$-12 = U_1 + 4 \times (-3) = U_1 - 12$$ D'où $$U_1 = 0$$ 5. **Expression de $U_n$ :** $$U_n = U_1 + (n-1)r = 0 + (n-1)(-3) = -3(n-1) = -3n + 3$$ 6. **Calcul de la somme $S = U_5 + \cdots + U_{11}$ :** Nombre de termes : $11 - 5 + 1 = 7$ $$S = \frac{7}{2} (U_5 + U_{11}) = \frac{7}{2} (-12 + (-30)) = \frac{7}{2} (-42) = 7 \times (-21) = -147$$ **Réponse finale :** - La raison est $r = -3$. - Le premier terme est $U_1 = 0$. - La formule explicite est $U_n = -3n + 3$. - La somme $S = -147$.