1. **Exercice N°1** **Problème :** Calculer les termes et la raison d'une suite arithmétique donnée. **Formule générale d'une suite arithmétique :** $$u_n = u_0 + nr$$ avec $u_0$ le premier terme et $r$ la raison. 1°) Calculer $u_0$ sachant que $u_0 = 2$ et $r = 2$. - Ici, $u_0$ est donné directement : $u_0 = 2$. 2°) Calculer $u_0$ sachant que $u_5 = 10$ et $r = 2$. - Utiliser la formule : $$u_5 = u_0 + 5r$$ $$10 = u_0 + 5 \times 2$$ $$10 = u_0 + 10$$ $$u_0 = 10 - 10 = 0$$ 3°) Calculer $r$ sachant que $u_2 = 1$ et $u_4 = 8$. - Utiliser la formule pour deux termes : $$u_4 = u_2 + 2r$$ $$8 = 1 + 2r$$ $$2r = 8 - 1 = 7$$ $$r = \frac{7}{2} = 3.5$$ 4°) Calculer $u_0$ et $r$ sachant que $u_7 = 45$ et $u_{10} + u_{11} = 132$. - Écrire les équations : $$u_7 = u_0 + 7r = 45$$ $$u_{10} + u_{11} = (u_0 + 10r) + (u_0 + 11r) = 2u_0 + 21r = 132$$ - Résoudre le système : De la première : $$u_0 = 45 - 7r$$ Substituer dans la deuxième : $$2(45 - 7r) + 21r = 132$$ $$90 - 14r + 21r = 132$$ $$7r = 132 - 90 = 42$$ $$r = 6$$ Puis : $$u_0 = 45 - 7 \times 6 = 45 - 42 = 3$$ 2. **Exercice N°2** **Problème :** Trouver la raison, le premier terme, le terme général et la somme d'une suite arithmétique. Données : $U_5 = 16$, $U_{10} = 31$. 1) Calculer $r$ et $U_0$. - Formule : $$U_n = U_0 + nr$$ - Équations : $$U_5 = U_0 + 5r = 16$$ $$U_{10} = U_0 + 10r = 31$$ - Soustraire : $$U_{10} - U_5 = 5r = 31 - 16 = 15$$ $$r = 3$$ - Trouver $U_0$ : $$U_0 = 16 - 5 \times 3 = 16 - 15 = 1$$ 2) Trouver le terme général : $$U_n = 1 + 3n$$ 3) Calculer la somme $S = U_5 + U_6 + ... + U_{10}$. - Nombre de termes : $10 - 5 + 1 = 6$. - Somme des termes consécutifs : $$S = \frac{nombre\ de\ termes}{2} \times (premier\ terme + dernier\ terme)$$ $$S = \frac{6}{2} \times (U_5 + U_{10}) = 3 \times (16 + 31) = 3 \times 47 = 141$$ 3. **Exercice N°3** **Problème :** Montrer qu'une suite est arithmétique, exprimer la somme et vérifier qu'elle est un carré parfait. Suite définie par : $$U_n = 2n + 1$$ 1) Montrer que $U$ est arithmétique, préciser $r$ et $U_0$. - Calculer $U_{n+1} - U_n$ : $$U_{n+1} - U_n = (2(n+1) + 1) - (2n + 1) = 2$$ - Donc $r = 2$. - Premier terme : $$U_0 = 2 \times 0 + 1 = 1$$ 2a) Exprimer $S_n = U_0 + U_1 + ... + U_n$ en fonction de $n$. - Somme : $$S_n = \sum_{k=0}^n (2k + 1) = 2 \sum_{k=0}^n k + \sum_{k=0}^n 1 = 2 \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = n(n+1) + (n+1) = (n+1)(n+1) = (n+1)^2$$ - Donc $S_n = (n+1)^2$, un carré parfait. 2b) En déduire que : $$1 + 3 + 5 + ... + 149 + 151 = 76^2$$ - Ici, $151$ est le terme $U_{75}$ car : $$U_n = 2n + 1 = 151 \Rightarrow 2n = 150 \Rightarrow n = 75$$ - Donc la somme des 76 premiers termes (de $n=0$ à $n=75$) est : $$S_{75} = (75 + 1)^2 = 76^2$$ 4. **Exercice N°4** **Problème :** Calculer raison, premier terme, terme général, valeurs particulières et somme d'une suite arithmétique. Données : $U_5 = 125$, $U_{16} = 48$. 1) Calculer $r$ et $U_0$. - Formule : $$U_n = U_0 + nr$$ - Équations : $$U_5 = U_0 + 5r = 125$$ $$U_{16} = U_0 + 16r = 48$$ - Soustraire : $$(U_{16} - U_5) = 11r = 48 - 125 = -77$$ $$r = \frac{-77}{11} = -7$$ - Trouver $U_0$ : $$U_0 = 125 - 5 \times (-7) = 125 + 35 = 160$$ 2) Exprimer $U_n$ : $$U_n = 160 - 7n$$ 3) Trouver $n$ tel que $U_n = -127$ : $$160 - 7n = -127$$ $$-7n = -127 - 160 = -287$$ $$n = \frac{-287}{-7} = 41$$ 4) Trouver $n$ tel que $U_n \leq -250$ : $$160 - 7n \leq -250$$ $$-7n \leq -410$$ $$7n \geq 410$$ $$n \geq \frac{410}{7} \approx 58.57$$ - Donc $n \geq 59$. 5) Calculer la somme $S = U_{1971} + U_{1972} + ... + U_{2015}$. - Nombre de termes : $$2015 - 1971 + 1 = 45$$ - Calculer $U_{1971}$ et $U_{2015}$ : $$U_{1971} = 160 - 7 \times 1971 = 160 - 13797 = -13637$$ $$U_{2015} = 160 - 7 \times 2015 = 160 - 14105 = -13945$$ - Somme : $$S = \frac{45}{2} \times (-13637 - 13945) = 22.5 \times (-27582) = -620595$$ 5. **Exercice N°5** **Problème :** Calculer termes, montrer que la suite est arithmétique, exprimer une somme et résoudre une équation. Suite définie par : $$U_n = -3n + 4$$ 1) Calculer $U_0$, $U_1$, $U_2$ : $$U_0 = -3 \times 0 + 4 = 4$$ $$U_1 = -3 \times 1 + 4 = 1$$ $$U_2 = -3 \times 2 + 4 = -2$$ 2) Montrer que $(U_n)$ est arithmétique : $$U_{n+1} - U_n = (-3(n+1) + 4) - (-3n + 4) = -3n - 3 + 4 + 3n - 4 = -3$$ - Donc $r = -3$. 3) Exprimer $S_n = \sum_{k=1}^n U_k$ : $$S_n = \sum_{k=1}^n (-3k + 4) = -3 \sum_{k=1}^n k + 4n = -3 \frac{n(n+1)}{2} + 4n = -\frac{3n(n+1)}{2} + 4n = \frac{-3n^2 - 3n + 8n}{2} = \frac{-3n^2 + 5n}{2}$$ 4) Trouver $n$ tel que $S_n = -99$ : $$\frac{-3n^2 + 5n}{2} = -99$$ $$-3n^2 + 5n = -198$$ $$3n^2 - 5n - 198 = 0$$ - Résoudre l'équation quadratique : $$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times (-198) = 25 + 2376 = 2401$$ $$n = \frac{5 \pm \sqrt{2401}}{2 \times 3} = \frac{5 \pm 49}{6}$$ - Solutions : $$n_1 = \frac{5 + 49}{6} = \frac{54}{6} = 9$$ $$n_2 = \frac{5 - 49}{6} = \frac{-44}{6} = -\frac{22}{3}$$ (non valide car $n \geq 1$) - Donc $n = 9$. 5) Calculer $S = U_5 + U_6 + ... + U_{23}$. - Utiliser la somme partielle : $$S = \sum_{k=5}^{23} U_k = S_{23} - S_4$$ - Calculer $S_{23}$ : $$S_{23} = \frac{-3 \times 23^2 + 5 \times 23}{2} = \frac{-3 \times 529 + 115}{2} = \frac{-1587 + 115}{2} = \frac{-1472}{2} = -736$$ - Calculer $S_4$ : $$S_4 = \frac{-3 \times 4^2 + 5 \times 4}{2} = \frac{-3 \times 16 + 20}{2} = \frac{-48 + 20}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$ - Donc : $$S = -736 - (-14) = -736 + 14 = -722$$