1. Énoncé du problème : Soit $(a_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que $a_4 + a_5 = 11$ et $a_5 + a_6 = 17$. 2. Rappel de la formule d'une suite arithmétique : $$a_n = a_1 + (n-1)r$$ Cela signifie que chaque terme est obtenu en ajoutant la raison $r$ au terme précédent. 3. Exprimer $a_4$, $a_5$, et $a_6$ en fonction de $a_1$ et $r$ : $$a_4 = a_1 + 3r$$ $$a_5 = a_1 + 4r$$ $$a_6 = a_1 + 5r$$ 4. Utiliser les équations données : $$a_4 + a_5 = (a_1 + 3r) + (a_1 + 4r) = 2a_1 + 7r = 11$$ $$a_5 + a_6 = (a_1 + 4r) + (a_1 + 5r) = 2a_1 + 9r = 17$$ 5. Soustraire la première équation de la deuxième pour éliminer $a_1$ : $$ (2a_1 + 9r) - (2a_1 + 7r) = 17 - 11$$ $$ 2r = 6$$ $$ r = 3$$ 6. Remplacer $r=3$ dans la première équation : $$ 2a_1 + 7 \times 3 = 11$$ $$ 2a_1 + 21 = 11$$ $$ 2a_1 = 11 - 21 = -10$$ $$ a_1 = -5$$ 7. Calculer $a_5$ : $$ a_5 = a_1 + 4r = -5 + 4 \times 3 = -5 + 12 = 7$$ 8. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $$ a_n = 3n - 8$$ En effet, $$ a_n = a_1 + (n-1)r = -5 + (n-1) \times 3 = -5 + 3n - 3 = 3n - 8$$ Réponses finales : (a) $a_5 = 7$ (b) $r = 3$ (c) $a_n = 3n - 8$