1. **Énoncé du problème :** On a une suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On pose $v_n = \frac{1}{u_n}$. 2. **Calcul de $u_1$, $u_2$, $u_3$ :** - $u_1 = \frac{u_0}{u_0+1} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$ - $u_2 = \frac{u_1}{u_1+1} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{2}{5}$ - $u_3 = \frac{u_2}{u_2+1} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}+1} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{2}{7}$ 3. **Calcul de $v_0$, $v_1$, $v_3$ :** - $v_0 = \frac{1}{u_0} = \frac{1}{2}$ - $v_1 = \frac{1}{u_1} = \frac{3}{2}$ - $v_3 = \frac{1}{u_3} = \frac{7}{2}$ 4. **Prouver que $(v_n)$ est arithmétique :** On a $v_n = \frac{1}{u_n}$. Or, $$u_{n+1} = \frac{u_n}{u_n+1} \implies v_{n+1} = \frac{1}{u_{n+1}} = \frac{u_n+1}{u_n} = 1 + \frac{1}{u_n} = 1 + v_n$$ Donc, $$v_{n+1} - v_n = 1$$ La différence est constante, donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=1$. 5. **Expressions de $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$ :** Comme $(v_n)$ est arithmétique de raison 1 et $v_0=\frac{1}{2}$, $$v_n = v_0 + n \times 1 = \frac{1}{2} + n = n + \frac{1}{2}$$ Donc, $$u_n = \frac{1}{v_n} = \frac{1}{n + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{2n+1}{2}} = \frac{2}{2n+1}$$ 6. **Calcul de la somme $S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{u_k} = \sum_{k=0}^n v_k$ :** La somme des termes d'une suite arithmétique est $$S_n = (n+1) \times \frac{v_0 + v_n}{2}$$ Ici, $$v_0 = \frac{1}{2}, \quad v_n = n + \frac{1}{2}$$ Donc, $$S_n = (n+1) \times \frac{\frac{1}{2} + n + \frac{1}{2}}{2} = (n+1) \times \frac{n+1}{2} = \frac{(n+1)^2}{2}$$ **Réponses finales :** - $u_1 = \frac{2}{3}$, $u_2 = \frac{2}{5}$, $u_3 = \frac{2}{7}$ - $v_0 = \frac{1}{2}$, $v_1 = \frac{3}{2}$, $v_3 = \frac{7}{2}$ - $(v_n)$ est arithmétique de raison 1 - $v_n = n + \frac{1}{2}$ et $u_n = \frac{2}{2n+1}$ - $S_n = \frac{(n+1)^2}{2}$