1. **Énoncé du problème** : On considère la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par : $$u_0 = 3, \quad u_{n+1} = (a+1)(u_n + 2)$$ avec $a$ un paramètre réel. 2. **Déterminer $a$ pour que $(u_n)$ soit constante** : Si $(u_n)$ est constante, alors $u_{n+1} = u_n = c$ pour tout $n$. Donc : $$c = (a+1)(c + 2)$$ Développons : $$c = (a+1)c + 2(a+1)$$ Réarrangeons : $$c - (a+1)c = 2(a+1)$$ $$c(1 - (a+1)) = 2(a+1)$$ $$c(-a) = 2(a+1)$$ Or $c = u_0 = 3$ (car la suite est constante, tous les termes sont égaux à $u_0$), donc : $$3(-a) = 2(a+1)$$ $$-3a = 2a + 2$$ $$-3a - 2a = 2$$ $$-5a = 2$$ $$a = -\frac{2}{5}$$ 3. **Déterminer $a$ pour que $(u_n)$ soit arithmétique** : Une suite arithmétique vérifie : $$u_{n+1} - u_n = r$$ constante. Calculons : $$u_{n+1} - u_n = (a+1)(u_n + 2) - u_n = (a+1)u_n + 2(a+1) - u_n = a u_n + 2(a+1)$$ Pour que la différence soit constante, $a u_n + 2(a+1)$ doit être indépendant de $n$. Cela est possible seulement si $a=0$ (car sinon $a u_n$ dépend de $n$). Donc $a=0$. Vérification : $$u_{n+1} = (0+1)(u_n + 2) = u_n + 2$$ Donc la différence est $2$, constante. 4. **Pour $a = -\frac{2}{3}$, étude de la suite $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 1$** : (a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique, préciser raison et premier terme. On a : $$u_{n+1} = (a+1)(u_n + 2) = \left(-\frac{2}{3} + 1\right)(u_n + 2) = \frac{1}{3}(u_n + 2)$$ Donc : $$v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = \frac{1}{3}(u_n + 2) - 1 = \frac{1}{3}u_n + \frac{2}{3} - 1 = \frac{1}{3}u_n - \frac{1}{3}$$ Or $v_n = u_n - 1$, donc $u_n = v_n + 1$. Substituons : $$v_{n+1} = \frac{1}{3}(v_n + 1) - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}v_n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}v_n$$ Donc : $$v_{n+1} = \frac{1}{3} v_n$$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{3}$. Le premier terme est : $$v_0 = u_0 - 1 = 3 - 1 = 2$$ (b) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ : Pour une suite géométrique : $$v_n = v_0 q^n = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^n$$ Puis : $$u_n = v_n + 1 = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^n + 1$$ (c) Calculer les sommes $S_n = \sum_{k=0}^n v_k$ et $T_n = \sum_{k=0}^n u_k$, puis leurs limites. La somme des $v_k$ est une somme géométrique : $$S_n = v_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = 2 \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = 2 \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}} = 3 \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)$$ La somme des $u_k$ est : $$T_n = \sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=0}^n \left(v_k + 1\right) = \sum_{k=0}^n v_k + \sum_{k=0}^n 1 = S_n + (n+1)$$ Donc : $$T_n = 3 \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right) + (n+1)$$ Limites lorsque $n \to +\infty$ : $$\lim_{n \to +\infty} S_n = 3 \left(1 - 0\right) = 3$$ $$\lim_{n \to +\infty} T_n = \lim_{n \to +\infty} \left(3 + (n+1)\right) = +\infty$$ **Résumé final :** - $a = -\frac{2}{5}$ pour que $(u_n)$ soit constante. - $a = 0$ pour que $(u_n)$ soit arithmétique. - Pour $a = -\frac{2}{3}$, $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{3}$ et $v_0 = 2$. - $v_n = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^n$, $u_n = 2 \left(\frac{1}{3}\right)^n + 1$. - $S_n = 3 \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)$, $T_n = S_n + (n+1)$. - $\lim_{n \to \infty} S_n = 3$, $\lim_{n \to \infty} T_n = +\infty$.