1. **Énoncé du problème :** Exercice 4 : On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=3$ et de raison $2$. 1) Donner la formule explicite de $u_n$. 2) Calculer la valeur du 15\textsuperscript{e} terme $u_{15}$. 3) On pose $v_n = e^{u_n}$. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. 2. **Formule de la suite arithmétique :** Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, la formule explicite est : $$u_n = u_0 + n r$$ 3. **Calcul de $u_n$ :** $$u_n = 3 + 2n$$ 4. **Calcul de $u_{15}$ :** $$u_{15} = 3 + 2 \times 15 = 3 + 30 = 33$$ 5. **Montrer que $(v_n)$ est géométrique :** On a $v_n = e^{u_n} = e^{3 + 2n} = e^3 \times e^{2n}$. Le terme général peut s'écrire : $$v_n = e^3 \times (e^2)^n$$ C'est une suite géométrique de raison $q = e^2$ et de premier terme $v_0 = e^3$. --- 1. **Énoncé du problème :** Exercice 5 : Dériver la fonction $f$ définie sur $]-\infty; \frac{5}{2}]$ par $$f(x) = \frac{\sqrt{-2x + 5}}{e^x}$$ 2. **Réécriture de la fonction :** $$f(x) = \sqrt{-2x + 5} \times e^{-x} = (-2x + 5)^{\frac{1}{2}} e^{-x}$$ 3. **Formule de dérivation d'un produit :** Si $f(x) = g(x) h(x)$ alors $$f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x)$$ 4. **Calcul des dérivées partielles :** - $g(x) = (-2x + 5)^{\frac{1}{2}}$ $$g'(x) = \frac{1}{2} (-2x + 5)^{-\frac{1}{2}} \times (-2) = -\frac{1}{(-2x + 5)^{\frac{1}{2}}}$$ - $h(x) = e^{-x}$ $$h'(x) = -e^{-x}$$ 5. **Calcul de $f'(x)$ :** $$f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x) = -\frac{1}{\sqrt{-2x + 5}} e^{-x} + \sqrt{-2x + 5} (-e^{-x})$$ $$= -\frac{e^{-x}}{\sqrt{-2x + 5}} - \sqrt{-2x + 5} e^{-x} = -e^{-x} \left( \frac{1}{\sqrt{-2x + 5}} + \sqrt{-2x + 5} \right)$$ 6. **Simplification finale :** $$f'(x) = -e^{-x} \left( \frac{1 + (-2x + 5)}{\sqrt{-2x + 5}} \right) = -e^{-x} \frac{-2x + 6}{\sqrt{-2x + 5}} = e^{-x} \frac{2x - 6}{\sqrt{-2x + 5}}$$ **Réponses finales :** - Exercice 4 : $$u_n = 3 + 2n$$ $$u_{15} = 33$$ $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $e^2$. - Exercice 5 : $$f'(x) = e^{-x} \frac{2x - 6}{\sqrt{-2x + 5}}$$