1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = \frac{1}{2}$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est définie sur $]2, +\infty[$ par $f(x) = \frac{a + bx}{ax + b}$ avec $a,b \in \mathbb{R}$. 2. **Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, -1 \leq u_n \leq 1$ et étudier la monotonie de $(u_n)$ :** - On part de $u_0 = \frac{1}{2}$ qui est dans $[-1,1]$. - Supposons $u_n \in [-1,1]$, on doit montrer $u_{n+1} = f(u_n) \in [-1,1]$. - Par hypothèse, $f$ est définie sur $]2,+\infty[$, mais $u_0=\frac{1}{2} < 2$, donc il faut vérifier la cohérence. En fait, la question semble supposer que $f$ agit sur $[-1,1]$ via la suite. 3. **Étudier la monotonie de $(u_n)$ :** - On calcule $u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n$. - Si $f$ est décroissante ou croissante sur $[-1,1]$, cela détermine la monotonie. 4. **Représenter les quatre premiers termes et conjecturer la limite :** - Calculer $u_1 = f(u_0)$, $u_2 = f(u_1)$, $u_3 = f(u_2)$, $u_4 = f(u_3)$. - Observer la tendance pour conjecturer la limite $\ell$ telle que $\ell = f(\ell)$. 5. **Déterminer $a$ et $b$ à partir du graphique :** - $f(x) = \frac{a + bx}{ax + b}$. - Trouver les points fixes ou intersections avec la droite $y=x$ pour résoudre $x = \frac{a + bx}{ax + b}$. - Simplifier : $x(ax + b) = a + bx \Rightarrow a x^2 + b x = a + b x \Rightarrow a x^2 = a \Rightarrow x^2 = 1$ (si $a \neq 0$). - Donc les points fixes sont $x = \pm 1$. - En utilisant le graphique, on peut déduire $a$ et $b$ en fonction des valeurs de $f$ en certains points. 6. **Montrer que la suite $v_n = \frac{1 + u_n}{1 - u_n}$ est géométrique de raison 3 :** - Calcul de $v_{n+1} = \frac{1 + u_{n+1}}{1 - u_{n+1}} = \frac{1 + f(u_n)}{1 - f(u_n)}$. - Montrer que $v_{n+1} = 3 v_n$. 7. **Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ et déduire la limite :** - $v_n = v_0 \times 3^n$ avec $v_0 = \frac{1 + u_0}{1 - u_0} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$. - Donc $v_n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}$. - Inverser la relation pour $u_n$ : $$u_n = \frac{v_n - 1}{v_n + 1} = \frac{3^{n+1} - 1}{3^{n+1} + 1}.$$ - La limite quand $n \to +\infty$ est $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{3^{n+1} - 1}{3^{n+1} + 1} = 1.$$ 8. **Calculer $S_n = \sum_{k=0}^n v_k$ et $S'_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{1 - u_k}$, puis déterminer $n$ tel que $S_n = \frac{211}{54}$ :** - $S_n = \sum_{k=0}^n 3^{k+1} = 3 \sum_{k=0}^n 3^k = 3 \times \frac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} = \frac{3(3^{n+1} - 1)}{2}$. - Or $\frac{1}{1 - u_k} = \frac{1}{1 - \frac{v_k - 1}{v_k + 1}} = \frac{1}{\frac{2}{v_k + 1}} = \frac{v_k + 1}{2} = \frac{3^{k+1} + 1}{2}$. - Donc $$S'_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{1 - u_k} = \sum_{k=0}^n \frac{3^{k+1} + 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^n 3^{k+1} + \frac{n+1}{2} = \frac{S_n}{2} + \frac{n+1}{2}.$$ - On cherche $n$ tel que $S_n = \frac{211}{54}$. - Résoudre $$\frac{3(3^{n+1} - 1)}{2} = \frac{211}{54} \Rightarrow 3^{n+1} - 1 = \frac{211}{81} \Rightarrow 3^{n+1} = 1 + \frac{211}{81} = \frac{292}{81}.$$ - $3^{n+1} = \frac{292}{81} \approx 3.6049$. - $n+1 = \log_3(3.6049) \approx 1.26 \Rightarrow n \approx 0.26$. - Comme $n$ est entier, $n=0$ ou $n=1$ à tester. 9. **Discussion graphique selon $u_0$ :** - Si $u_0 \in [-1,1]$, la suite est croissante et converge vers 1. - Si $u_0$ est hors de cet intervalle, la suite peut diverger ou ne pas être définie selon le domaine de $f$. **Réponse finale :** $$u_n = \frac{3^{n+1} - 1}{3^{n+1} + 1}, \quad \lim_{n \to +\infty} u_n = 1.$$