1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et la relation de récurrence $$u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 4}$$ pour tout entier naturel $n$. On définit la suite $(v_n)$ par $$v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3}$$ pour tout entier naturel $n$. 2. **Calcul de $u_1$, $u_2$, $u_3$ :** - Calcul de $u_1$ : $$u_1 = \frac{2u_0 + 3}{u_0 + 4} = \frac{2 \times 0 + 3}{0 + 4} = \frac{3}{4}$$ - Calcul de $u_2$ : $$u_2 = \frac{2u_1 + 3}{u_1 + 4} = \frac{2 \times \frac{3}{4} + 3}{\frac{3}{4} + 4} = \frac{\frac{3}{2} + 3}{\frac{3}{4} + 4} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{6}{2}}{\frac{3}{4} + \frac{16}{4}} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{19}{4}} = \frac{9}{2} \times \frac{4}{19} = \frac{36}{38} = \frac{18}{19}$$ - Calcul de $u_3$ : $$u_3 = \frac{2u_2 + 3}{u_2 + 4} = \frac{2 \times \frac{18}{19} + 3}{\frac{18}{19} + 4} = \frac{\frac{36}{19} + 3}{\frac{18}{19} + 4} = \frac{\frac{36}{19} + \frac{57}{19}}{\frac{18}{19} + \frac{76}{19}} = \frac{\frac{93}{19}}{\frac{94}{19}} = \frac{93}{19} \times \frac{19}{94} = \frac{93}{94}$$ 3. **Détermination de $v_{n+1}$ et nature de $(v_n)$ :** On a $$v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3}$$ Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{u_{n+1} - 1}{u_{n+1} + 3} = \frac{\frac{2u_n + 3}{u_n + 4} - 1}{\frac{2u_n + 3}{u_n + 4} + 3} = \frac{\frac{2u_n + 3 - (u_n + 4)}{u_n + 4}}{\frac{2u_n + 3 + 3(u_n + 4)}{u_n + 4}} = \frac{2u_n + 3 - u_n - 4}{2u_n + 3 + 3u_n + 12} = \frac{u_n - 1}{5u_n + 15}$$ On remarque que $$v_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3} \implies u_n - 1 = v_n (u_n + 3)$$ Donc $$u_n - 1 = v_n u_n + 3 v_n \implies u_n - v_n u_n = 1 + 3 v_n \implies u_n (1 - v_n) = 1 + 3 v_n \implies u_n = \frac{1 + 3 v_n}{1 - v_n}$$ Substituons dans $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{u_n - 1}{5 u_n + 15} = \frac{\frac{1 + 3 v_n}{1 - v_n} - 1}{5 \times \frac{1 + 3 v_n}{1 - v_n} + 15} = \frac{\frac{1 + 3 v_n - (1 - v_n)}{1 - v_n}}{\frac{5(1 + 3 v_n)}{1 - v_n} + 15} = \frac{\frac{1 + 3 v_n - 1 + v_n}{1 - v_n}}{\frac{5 + 15 v_n}{1 - v_n} + 15} = \frac{\frac{4 v_n}{1 - v_n}}{\frac{5 + 15 v_n + 15(1 - v_n)}{1 - v_n}} = \frac{4 v_n}{5 + 15 v_n + 15 - 15 v_n} = \frac{4 v_n}{20} = \frac{v_n}{5}$$ Donc $$\boxed{v_{n+1} = \frac{v_n}{5}}$$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{5}$. Le premier terme est $$v_0 = \frac{u_0 - 1}{u_0 + 3} = \frac{0 - 1}{0 + 3} = -\frac{1}{3}$$ 4. **Sens de variation de $(v_n)$ :** La raison $q = \frac{1}{5}$ est positive et strictement inférieure à 1, donc la suite $(v_n)$ est strictement décroissante en valeur absolue et tend vers 0. 5. **Expression de $v_n$ en fonction de $n$ :** Puisque $(v_n)$ est géométrique, $$v_n = v_0 q^n = -\frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{5}\right)^n$$ 6. **Expression de la somme $S = v_0 + v_1 + \cdots + v_n$ :** La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique est $$S = v_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = -\frac{1}{3} \times \frac{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{5}} = -\frac{1}{3} \times \frac{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}}{\frac{4}{5}} = -\frac{1}{3} \times \frac{5}{4} \left(1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}\right) = -\frac{5}{12} \left(1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}\right)$$ **Réponse finale :** $$\boxed{\begin{cases} u_1 = \frac{3}{4}, \\ u_2 = \frac{18}{19}, \\ u_3 = \frac{93}{94}, \\ v_n = -\frac{1}{3} \left(\frac{1}{5}\right)^n, \\ S = -\frac{5}{12} \left(1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{n+1}\right) \end{cases}}$$