1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1} = \frac{u_n - 2}{2u_n + 5}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Montrer que pour tout $n$, $u_n > -1$ :** - Initialisation : $u_0=0 > -1$. - Hypothèse de récurrence : supposons $u_n > -1$. - Montrons que $u_{n+1} > -1$. Calculons : $$u_{n+1} = \frac{u_n - 2}{2u_n + 5} > -1 \iff \frac{u_n - 2}{2u_n + 5} + 1 > 0$$ $$\iff \frac{u_n - 2 + 2u_n + 5}{2u_n + 5} > 0 \iff \frac{3u_n + 3}{2u_n + 5} > 0$$ Puisque $u_n > -1$, alors $3u_n + 3 = 3(u_n + 1) > 0$. De plus, $2u_n + 5 > 2(-1) + 5 = 3 > 0$. Donc le quotient est positif, donc $u_{n+1} > -1$. Par récurrence, $\forall n, u_n > -1$. 3. **Montrer que $(u_n)$ est décroissante et en déduire sa convergence :** Calculons la différence : $$u_{n+1} - u_n = \frac{u_n - 2}{2u_n + 5} - u_n = \frac{u_n - 2 - u_n(2u_n + 5)}{2u_n + 5} = \frac{u_n - 2 - 2u_n^2 - 5u_n}{2u_n + 5}$$ $$= \frac{-2u_n^2 - 4u_n - 2}{2u_n + 5} = \frac{-2(u_n^2 + 2u_n + 1)}{2u_n + 5} = \frac{-2(u_n + 1)^2}{2u_n + 5}$$ Le dénominateur $2u_n + 5 > 0$ car $u_n > -1$. Le numérateur $-2(u_n + 1)^2 \leq 0$ avec égalité seulement si $u_n = -1$ (impossible car $u_n > -1$). Donc $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite est strictement décroissante. Une suite décroissante et minorée (par $-1$) est convergente. 4. **Définition de $v_n = \frac{3}{1 + u_n}$ :** (a) Montrons que $(v_n)$ est arithmétique de raison 2. Calculons $v_{n+1} - v_n$ : $$v_{n+1} - v_n = \frac{3}{1 + u_{n+1}} - \frac{3}{1 + u_n} = 3 \left( \frac{1}{1 + u_{n+1}} - \frac{1}{1 + u_n} \right) = 3 \frac{u_n - u_{n+1}}{(1 + u_{n+1})(1 + u_n)}$$ Or, $u_{n+1} = \frac{u_n - 2}{2u_n + 5}$, donc $$u_n - u_{n+1} = u_n - \frac{u_n - 2}{2u_n + 5} = \frac{u_n(2u_n + 5) - (u_n - 2)}{2u_n + 5} = \frac{2u_n^2 + 5u_n - u_n + 2}{2u_n + 5} = \frac{2u_n^2 + 4u_n + 2}{2u_n + 5}$$ Factorisons le numérateur : $$2u_n^2 + 4u_n + 2 = 2(u_n^2 + 2u_n + 1) = 2(u_n + 1)^2$$ Donc $$u_n - u_{n+1} = \frac{2(u_n + 1)^2}{2u_n + 5}$$ Calculons le dénominateur de la fraction dans $v_{n+1} - v_n$ : $$(1 + u_{n+1})(1 + u_n)$$ Avec $u_{n+1} = \frac{u_n - 2}{2u_n + 5}$, $$1 + u_{n+1} = 1 + \frac{u_n - 2}{2u_n + 5} = \frac{2u_n + 5 + u_n - 2}{2u_n + 5} = \frac{3u_n + 3}{2u_n + 5} = \frac{3(u_n + 1)}{2u_n + 5}$$ Donc $$(1 + u_{n+1})(1 + u_n) = \frac{3(u_n + 1)}{2u_n + 5} (1 + u_n) = \frac{3(u_n + 1)^2}{2u_n + 5}$$ Ainsi $$v_{n+1} - v_n = 3 \times \frac{\frac{2(u_n + 1)^2}{2u_n + 5}}{\frac{3(u_n + 1)^2}{2u_n + 5}} = 3 \times \frac{2(u_n + 1)^2}{2u_n + 5} \times \frac{2u_n + 5}{3(u_n + 1)^2} = 3 \times \frac{2}{3} = 2$$ Donc $(v_n)$ est une suite arithmétique de raison 2. Le premier terme : $$v_0 = \frac{3}{1 + u_0} = \frac{3}{1 + 0} = 3$$ (b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ : Puisque $v_n$ est arithmétique de raison 2 et $v_0=3$, $$v_n = v_0 + n \times 2 = 3 + 2n$$ Or $$v_n = \frac{3}{1 + u_n} \implies 1 + u_n = \frac{3}{v_n} = \frac{3}{3 + 2n}$$ Donc $$u_n = \frac{3}{3 + 2n} - 1 = \frac{3 - (3 + 2n)}{3 + 2n} = \frac{-2n}{3 + 2n}$$ La limite de $u_n$ quand $n \to +\infty$ est $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{-2n}{3 + 2n} = -1$$ 5. **Définition de $w_n = e^{3 - v_n}$ et $S_n = \sum_{k=0}^n w_k$ :** (a) Montrons que $(w_n)$ est géométrique. On a $$w_n = e^{3 - v_n} = e^{3 - (3 + 2n)} = e^{-2n} = (e^{-2})^n$$ Donc $(w_n)$ est géométrique de raison $$q = e^{-2}$$ et de premier terme $$w_0 = e^{3 - v_0} = e^{3 - 3} = e^0 = 1$$ (b) Calcul de la limite de la somme $S_n$ : La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique est $$S_n = w_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} = \frac{1 - (e^{-2})^{n+1}}{1 - e^{-2}}$$ Quand $n \to +\infty$, $q^{n+1} = (e^{-2})^{n+1} \to 0$, donc $$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{1 - e^{-2}}$$