1. Énoncé du problème : Étudier la nature de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ avec $u_0 \geq 4$ et la relation de récurrence $u_{n+1} = 2u_n - 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. Identifier le type de suite : La suite est définie par une relation de récurrence linéaire du premier ordre non homogène. 3. Résoudre l'équation homogène associée : $$u_{n+1} = 2u_n$$ La solution générale de l'équation homogène est : $$u_n^h = C \times 2^n$$ avec $C$ une constante à déterminer. 4. Trouver une solution particulière $u_n^p$ de la forme constante $u_n^p = k$ : $$k = 2k - 3 \Rightarrow k - 2k = -3 \Rightarrow -k = -3 \Rightarrow k = 3$$ 5. La solution générale de la suite est donc : $$u_n = u_n^h + u_n^p = C \times 2^n + 3$$ 6. Utiliser la condition initiale $u_0$ pour déterminer $C$ : $$u_0 = C \times 2^0 + 3 = C + 3$$ Donc : $$C = u_0 - 3$$ 7. La formule explicite de la suite est : $$u_n = (u_0 - 3) \times 2^n + 3$$ 8. Étudier la nature de la suite selon $u_0$ : - Si $u_0 = 3$, alors $C=0$ et $u_n = 3$ pour tout $n$, la suite est constante. - Si $u_0 > 3$, alors $C > 0$ et $u_n$ est strictement croissante car $2^n$ croît. - Si $3 \leq u_0 < 4$, la suite est croissante aussi car $C \geq 0$. 9. Conclusion : La suite est géométrique modifiée, elle est soit constante (si $u_0=3$), soit strictement croissante (si $u_0 > 3$). Comme $u_0 \geq 4$, la suite est strictement croissante et tend vers $+\infty$. Réponse finale : $$u_n = (u_0 - 3) \times 2^n + 3$$ avec $u_0 \geq 4$, la suite est strictement croissante et diverge vers $+\infty$.