1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $$\begin{cases} u_0 = 2, \\ u_1 = \frac{4}{9}, \\ u_{n+2} = \frac{1}{27} (12 u_{n+1} - u_n), \quad \forall n \in \mathbb{N}. \end{cases}$$ On pose $v_n = u_n - \frac{1}{3^n}$. 2. **Montrer par récurrence que** $$u_{n+1} = \frac{1}{9} u_n + \frac{2}{3^{n+2}}.$$ **Initialisation :** Pour $n=0$, $$u_1 = \frac{4}{9}$$ et $$\frac{1}{9} u_0 + \frac{2}{3^{2}} = \frac{1}{9} \times 2 + \frac{2}{9} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}.$$ Donc la propriété est vraie pour $n=0$. **Hérédité :** Supposons que pour un $n \geq 0$, $$u_{n+1} = \frac{1}{9} u_n + \frac{2}{3^{n+2}}.$$ Montrons que $$u_{n+2} = \frac{1}{9} u_{n+1} + \frac{2}{3^{n+3}}.$$ À partir de la relation de récurrence, $$u_{n+2} = \frac{1}{27} (12 u_{n+1} - u_n).$$ Utilisons l'hypothèse pour exprimer $u_n$ : $$u_n = 9 u_{n+1} - 18 \times \frac{1}{3^{n+2}} = 9 u_{n+1} - \frac{18}{3^{n+2}}.$$ Mais cette substitution est incorrecte, il faut plutôt exprimer $u_n$ en fonction de $u_{n+1}$ et la relation donnée. Reprenons : De l'hypothèse, $$u_{n+1} = \frac{1}{9} u_n + \frac{2}{3^{n+2}} \implies u_n = 9 u_{n+1} - \frac{18}{3^{n+2}}.$$ Substituons dans $u_{n+2}$ : $$u_{n+2} = \frac{1}{27} (12 u_{n+1} - u_n) = \frac{1}{27} \left(12 u_{n+1} - \left(9 u_{n+1} - \frac{18}{3^{n+2}}\right)\right) = \frac{1}{27} (3 u_{n+1} + \frac{18}{3^{n+2}}) = \frac{1}{9} u_{n+1} + \frac{2}{3^{n+3}}.$$ La propriété est donc vraie pour $n+1$. Par récurrence, la formule est démontrée. 3. **(a) Montrer que $(v_n)$ est géométrique, déterminer sa raison et son premier terme.** On rappelle que $$v_n = u_n - \frac{1}{3^n}.$$ Utilisons la relation trouvée pour $u_{n+1}$ : $$u_{n+1} = \frac{1}{9} u_n + \frac{2}{3^{n+2}}.$$ Donc $$v_{n+1} = u_{n+1} - \frac{1}{3^{n+1}} = \frac{1}{9} u_n + \frac{2}{3^{n+2}} - \frac{1}{3^{n+1}}.$$ Remplaçons $u_n = v_n + \frac{1}{3^n}$ : $$v_{n+1} = \frac{1}{9} \left(v_n + \frac{1}{3^n}\right) + \frac{2}{3^{n+2}} - \frac{1}{3^{n+1}} = \frac{1}{9} v_n + \frac{1}{9 \times 3^n} + \frac{2}{3^{n+2}} - \frac{1}{3^{n+1}}.$$ Simplifions les termes en puissances de 3 : $$\frac{1}{9 \times 3^n} = \frac{1}{3^{n+2}},$$ $$\frac{2}{3^{n+2}}$$ reste inchangé, $$\frac{1}{3^{n+1}}$$ reste inchangé. Donc $$v_{n+1} = \frac{1}{9} v_n + \frac{1}{3^{n+2}} + \frac{2}{3^{n+2}} - \frac{1}{3^{n+1}} = \frac{1}{9} v_n + \frac{3}{3^{n+2}} - \frac{1}{3^{n+1}} = \frac{1}{9} v_n + \frac{3}{3^{n+2}} - \frac{3}{3^{n+2}} = \frac{1}{9} v_n.$$ Ainsi, $$v_{n+1} = \frac{1}{9} v_n,$$ ce qui montre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $r = \frac{1}{9}$. Calculons $v_0$ : $$v_0 = u_0 - \frac{1}{3^0} = 2 - 1 = 1.$$ Donc $$v_n = v_0 \times r^n = 1 \times \left(\frac{1}{9}\right)^n = \frac{1}{9^n}.$$ 4. **(b) Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.** On a $$v_n = \frac{1}{9^n} = \frac{1}{3^{2n}}.$$ Rappelons que $$u_n = v_n + \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{3^n}.$$ 5. **(c) Calculer la somme** $$S_n = \sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=0}^n \left( \frac{1}{3^{2k}} + \frac{1}{3^k} \right) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{9^k} + \sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k}.$$ Ce sont deux sommes géométriques : - Pour $\sum_{k=0}^n \frac{1}{9^k}$, raison $\frac{1}{9}$ : $$\sum_{k=0}^n \frac{1}{9^k} = \frac{1 - \left(\frac{1}{9}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{1 - \frac{1}{9^{n+1}}}{\frac{8}{9}} = \frac{9}{8} \left(1 - \frac{1}{9^{n+1}}\right).$$ - Pour $\sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k}$, raison $\frac{1}{3}$ : $$\sum_{k=0}^n \frac{1}{3^k} = \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - \frac{1}{3^{n+1}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right).$$ Donc $$S_n = \frac{9}{8} \left(1 - \frac{1}{9^{n+1}}\right) + \frac{3}{2} \left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right) = \frac{9}{8} + \frac{3}{2} - \frac{9}{8 \times 9^{n+1}} - \frac{3}{2 \times 3^{n+1}} = \frac{9}{8} + \frac{3}{2} - \frac{9}{8 \times 9^{n+1}} - \frac{3}{2 \times 3^{n+1}}.$$ Simplifions les constantes : $$\frac{9}{8} + \frac{3}{2} = \frac{9}{8} + \frac{12}{8} = \frac{21}{8}.$$ Ainsi, $$S_n = \frac{21}{8} - \frac{9}{8 \times 9^{n+1}} - \frac{3}{2 \times 3^{n+1}}.$$