1. **Énoncé du problème :** Nous avons la suite définie par : $$\begin{cases} U_0 = 1 \\ U_{n+1} = \frac{1}{2} U_n + 1 \end{cases}$$ Calculer $U_1$ et $U_2$. 2. **Calcul de $U_1$ et $U_2$ :** $$U_1 = \frac{1}{2} U_0 + 1 = \frac{1}{2} \times 1 + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$ $$U_2 = \frac{1}{2} U_1 + 1 = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$$ 3. **Vérification que $(U_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique :** - Une suite arithmétique a une différence constante $d$ telle que $U_{n+1} - U_n = d$. Calculons $U_1 - U_0 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ et $U_2 - U_1 = \frac{7}{4} - \frac{3}{2} = \frac{7}{4} - \frac{6}{4} = \frac{1}{4}$. Les différences ne sont pas constantes, donc la suite n'est pas arithmétique. - Une suite géométrique a un rapport constant $q$ tel que $\frac{U_{n+1}}{U_n} = q$. Calculons $\frac{U_1}{U_0} = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2}$ et $\frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{7}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{7}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$. Les rapports ne sont pas constants, donc la suite n'est pas géométrique. 4. **Définition de $V_n = U_n - 2$ :** (a) Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $U_n$ : $$V_{n+1} = U_{n+1} - 2 = \left( \frac{1}{2} U_n + 1 \right) - 2 = \frac{1}{2} U_n - 1$$ (b) Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$ : On a $V_n = U_n - 2 \Rightarrow U_n = V_n + 2$. Donc, $$V_{n+1} = \frac{1}{2} (V_n + 2) - 1 = \frac{1}{2} V_n + 1 - 1 = \frac{1}{2} V_n$$ 5. **Calcul de $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$ :** La suite $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme : $$V_0 = U_0 - 2 = 1 - 2 = -1$$ Donc, $$V_n = V_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^n = -1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^n = -\left( \frac{1}{2} \right)^n$$ Enfin, $$U_n = V_n + 2 = 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^n$$ **Réponse finale :** $$U_n = 2 - \left( \frac{1}{2} \right)^n$$