1. **Énoncé du problème :** Déterminer si la proposition 1 est vraie ou fausse, où la suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_{n+1} = \frac{2}{5} u_n + \frac{1}{4}$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour une suite définie par une relation de récurrence linéaire du type $u_{n+1} = a u_n + b$, on peut étudier son comportement (convergence, limite) et vérifier la validité de la proposition donnée. 3. **Travail intermédiaire :** La proposition 1 affirme que pour tout $n$, $2 u_{n+1} = 5 u_n + 1/4$. Vérifions cette égalité à partir de la définition : $$u_{n+1} = \frac{2}{5} u_n + \frac{1}{4}$$ Multiplions les deux côtés par 2 : $$2 u_{n+1} = 2 \times \left(\frac{2}{5} u_n + \frac{1}{4}\right) = \frac{4}{5} u_n + \frac{1}{2}$$ La proposition dit que $2 u_{n+1} = 5 u_n + \frac{1}{4}$, or on a obtenu $2 u_{n+1} = \frac{4}{5} u_n + \frac{1}{2}$. 4. **Conclusion :** Les deux expressions ne sont pas égales, donc la proposition 1 est fausse. **Réponse finale :** Proposition 1 est fausse.