1. Énonçons le problème : On a une suite $U_n$ définie par $U_0=2$ et la relation de récurrence $$U_{n+1} = \frac{1}{4} - U_n - 3.$$ 2. Simplifions la relation de récurrence : $$U_{n+1} = \frac{1}{4} - U_n - 3 = \frac{1}{4} - 3 - U_n = -\frac{11}{4} - U_n.$$ 3. La relation devient donc : $$U_{n+1} = -U_n - \frac{11}{4}.$$ 4. Pour résoudre cette relation, on cherche la solution générale de la forme $U_n = V_n + W_n$ où $V_n$ est la solution de la partie homogène et $W_n$ une solution particulière. 5. La partie homogène est : $$V_{n+1} = -V_n.$$ La solution générale est donc : $$V_n = (-1)^n C,$$ où $C$ est une constante. 6. Cherchons une solution particulière constante $W_n = k$ : $$k = -k - \frac{11}{4} \Rightarrow 2k = -\frac{11}{4} \Rightarrow k = -\frac{11}{8}.$$ 7. La solution générale est donc : $$U_n = (-1)^n C - \frac{11}{8}.$$ 8. Utilisons la condition initiale $U_0=2$ : $$U_0 = C - \frac{11}{8} = 2 \Rightarrow C = 2 + \frac{11}{8} = \frac{16}{8} + \frac{11}{8} = \frac{27}{8}.$$ 9. La solution explicite de la suite est : $$\boxed{U_n = \frac{27}{8} (-1)^n - \frac{11}{8}}.$$