1. **Énoncé du problème :** Démontrer par récurrence que $u_n < 14$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, où la suite $(u_n)$ est définie par : $$\begin{cases} u_0 = 13 \\ u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 7 \end{cases}$$ 2. **Formule et règles importantes :** Pour une preuve par récurrence, on doit : - Vérifier la propriété au rang initial $n=0$. - Supposer la propriété vraie au rang $n$ (hypothèse de récurrence). - Montrer qu'elle est alors vraie au rang $n+1$. 3. **Preuve par récurrence :** **Initialisation :** $$u_0 = 13 < 14$$ La propriété est vraie au rang 0. **Hérédité :** Supposons que $u_n < 14$. Alors : $$u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 7 < \frac{1}{2} \times 14 + 7 = 7 + 7 = 14$$ **Intermédiaire avec simplification :** $$u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n + 7 < \frac{1}{2} \cancel{14} + 7 = 14$$ Donc $u_{n+1} < 14$. **Conclusion :** Par le principe de récurrence, $u_n < 14$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. --- 4. **Définition de la suite $(v_n)$ :** $$v_n = 14 - u_n$$ 5. **Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ :** Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = 14 - u_{n+1} = 14 - \left( \frac{1}{2} u_n + 7 \right) = 14 - 7 - \frac{1}{2} u_n = 7 - \frac{1}{2} u_n$$ Or $v_n = 14 - u_n$ donc $u_n = 14 - v_n$. Substituons : $$v_{n+1} = 7 - \frac{1}{2} (14 - v_n) = 7 - 7 + \frac{1}{2} v_n = \frac{1}{2} v_n$$ Donc la suite $(v_n)$ vérifie : $$v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n$$ C'est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$. 6. **Expression de $v_n$ en fonction de $n$ :** La première valeur est : $$v_0 = 14 - u_0 = 14 - 13 = 1$$ Donc : $$v_n = v_0 \times \left( \frac{1}{2} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^n$$ --- 7. **Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ :** $$u_n = 14 - v_n = 14 - \left( \frac{1}{2} \right)^n$$ 8. **Calcul de la limite de $(u_n)$ :** Comme $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 0$, on a : $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 14 - 0 = 14$$ **Réponse finale :** $$\boxed{u_n = 14 - \left( \frac{1}{2} \right)^n \quad \text{et} \quad \lim_{n \to +\infty} u_n = 14}$$