1. Énonçons le problème : On a une suite $U_n$ définie par $U_0=2$ et la relation de récurrence $$U_{n+1} = \frac{1}{4} - U_n - 3.$$ 2. On définit une nouvelle suite $V_n$ telle que $$V_n = U_n + p,$$ où $p$ est une constante à déterminer. 3. Remplaçons $U_n$ dans la relation de récurrence par $V_n - p$ : $$U_{n+1} = \frac{1}{4} - U_n - 3 \implies V_{n+1} - p = \frac{1}{4} - (V_n - p) - 3.$$ 4. Simplifions le membre de droite : $$V_{n+1} - p = \frac{1}{4} - V_n + p - 3 = -V_n + p - \frac{11}{4}.$$ 5. Isolons $V_{n+1}$ : $$V_{n+1} = -V_n + p - \frac{11}{4} + p = -V_n + 2p - \frac{11}{4}.$$ 6. Pour que la suite $V_n$ soit une suite géométrique (ou plus simple), on cherche $p$ tel que le terme constant disparaisse, donc : $$2p - \frac{11}{4} = 0 \implies 2p = \frac{11}{4} \implies p = \frac{11}{8}.$$ 7. Ainsi, la relation devient : $$V_{n+1} = -V_n.$$ 8. La suite $V_n$ est donc définie par $V_{n+1} = -V_n$ avec $V_0 = U_0 + p = 2 + \frac{11}{8} = \frac{27}{8}.$ 9. En conclusion, la suite $V_n$ alterne les signes : $$V_n = (-1)^n V_0 = (-1)^n \frac{27}{8}.$$