1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et la relation de récurrence $$u_{n+1} = 2 \times \frac{u_n + 1}{u_n + 2}$$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ et montrer que $f$ est croissante :** La fonction $f$ est définie par $$f(x) = 2 \times \frac{x + 1}{x + 2}.$$ Pour montrer que $f$ est croissante, calculons sa dérivée : $$f'(x) = 2 \times \frac{(1)(x+2) - (x+1)(1)}{(x+2)^2} = 2 \times \frac{x + 2 - x - 1}{(x+2)^2} = 2 \times \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{2}{(x+2)^2}.$$ Comme $(x+2)^2 > 0$ pour tout $x > -2$, on a $f'(x) > 0$ pour tout $x > -2$, donc $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. 3. **Calculer $f(\sqrt{2})$ :** $$f(\sqrt{2}) = 2 \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 2}.$$ On peut laisser cette expression sous cette forme ou calculer une valeur approchée si besoin. 4. **Déduire par récurrence que $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ :** - Initialisation : $$u_0 = 1,$$ donc $1 \leq u_0 \leq \sqrt{2}$ est vrai. - Hérédité : Supposons que $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$. Comme $f$ est croissante, on a $$f(1) \leq f(u_n) \leq f(\sqrt{2}).$$ Calculons $f(1)$ : $$f(1) = 2 \times \frac{1 + 1}{1 + 2} = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.333,$$ et on a déjà $f(\sqrt{2})$ calculé. On remarque que $f(1) > 1$ et $f(\sqrt{2}) < \sqrt{2}$ (car $f(\sqrt{2}) = 2 \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 2} < 2 \times 1 = 2$ et en fait $f(\sqrt{2}) \approx 1.39 < 1.414$). Donc, $$1 \leq u_n \leq \sqrt{2} \implies 1.333 \leq u_{n+1} \leq 1.39,$$ ce qui est un intervalle inclus dans $[1, \sqrt{2}]$. Ainsi, par récurrence, $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$ pour tout $n$. 5. **Vérifier que $(u_n)$ est croissante :** On veut montrer que $u_{n+1} \geq u_n$. Calculons $$u_{n+1} - u_n = f(u_n) - u_n = 2 \times \frac{u_n + 1}{u_n + 2} - u_n = \frac{2(u_n + 1) - u_n(u_n + 2)}{u_n + 2} = \frac{2u_n + 2 - u_n^2 - 2u_n}{u_n + 2} = \frac{2 - u_n^2}{u_n + 2}.$$ Comme $u_n \geq 1$, on a $u_n + 2 > 0$. Donc le signe de $u_{n+1} - u_n$ dépend de $2 - u_n^2$. Or, $u_n \leq \sqrt{2}$ donc $u_n^2 \leq 2$, donc $2 - u_n^2 \geq 0$. Donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$, la suite est croissante. 6. **Montrer que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite :** La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\sqrt{2}$, donc elle est convergente. Soit $\ell = \lim_{n \to \infty} u_n$. En passant à la limite dans la relation de récurrence, $$\ell = 2 \times \frac{\ell + 1}{\ell + 2}.$$ On résout cette équation : $$\ell (\ell + 2) = 2(\ell + 1)$$ $$\ell^2 + 2\ell = 2\ell + 2$$ $$\ell^2 + 2\ell - 2\ell = 2$$ $$\ell^2 = 2$$ $$\ell = \sqrt{2}$$ (car $u_n \geq 1$ donc limite positive). **Réponse finale :** La suite $(u_n)$ est définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $$f(x) = 2 \times \frac{x + 1}{x + 2},$$ qui est strictement croissante. On a $1 \leq u_n \leq \sqrt{2}$ pour tout $n$, la suite est croissante et converge vers $\sqrt{2}$.