1. **Énoncé du problème :** On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = (\sqrt{2} - 1) u_n + 2 - \sqrt{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. 2. **Montrer que la suite $(u_n)$ est minorée par 1 :** On veut montrer que $u_n \geq 1$ pour tout $n$. 3. **Vérification de la relation :** Montrons que $u_{n+1} - u_n = (\sqrt{2} - 2)(u_n - 1)$. Calculons : $$u_{n+1} - u_n = ((\sqrt{2} - 1) u_n + 2 - \sqrt{2}) - u_n = (\sqrt{2} - 1 - 1) u_n + 2 - \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 2) u_n + 2 - \sqrt{2}.$$ Or, $$ (\sqrt{2} - 2)(u_n - 1) = (\sqrt{2} - 2) u_n - (\sqrt{2} - 2) = (\sqrt{2} - 2) u_n + 2 - \sqrt{2}.$$ Donc, $$u_{n+1} - u_n = (\sqrt{2} - 2)(u_n - 1).$$ 4. **Déterminer la monotonie de $(u_n)$ :** Comme $\sqrt{2} \approx 1.414$, alors $\sqrt{2} - 2 \approx -0.586 < 0$. Donc, - Si $u_n > 1$, alors $u_n - 1 > 0$ et $u_{n+1} - u_n < 0$, la suite décroît. - Si $u_n < 1$, alors $u_n - 1 < 0$ et $u_{n+1} - u_n > 0$, la suite croît. 5. **En déduire que $(u_n)$ est convergente :** La suite est monotone (décroissante si $u_0 > 1$) et minorée par 1, donc elle converge. 6. **Vérifier que $u_{n+1} - 1 = (\sqrt{2} - 1)(u_n - 1)$ :** Calculons : $$u_{n+1} - 1 = (\sqrt{2} - 1) u_n + 2 - \sqrt{2} - 1 = (\sqrt{2} - 1) u_n + 1 - \sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)(u_n - 1).$$ 7. **Trouver le terme général de $(u_n)$ :** Posons $w_n = u_n - 1$, alors $$w_{n+1} = (\sqrt{2} - 1) w_n,$$ avec $w_0 = u_0 - 1 = 1$. Donc, $$w_n = (\sqrt{2} - 1)^n,$$ et $$u_n = 1 + (\sqrt{2} - 1)^n.$$ 8. **Calculer la limite de $(u_n)$ :** Comme $|\sqrt{2} - 1| < 1$, alors $$\lim_{n \to +\infty} (\sqrt{2} - 1)^n = 0,$$ donc $$\lim_{n \to +\infty} u_n = 1.$$ 9. **Déduire la limite de la suite $(v_n)$ définie par $v_n = (5 - u_n) \sqrt{u_n}$ :** On a $$\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} (5 - u_n) \sqrt{u_n} = (5 - 1) \sqrt{1} = 4.$$