1. **Énoncé du problème :** Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_0 = 1$ et $U_{n+1} = \frac{30}{2(3 - U_n)}$. On pose $V_n = \frac{U_n}{2U_n - 3}$. 2. **Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $0 < U_n < \frac{3}{2}$ :** - On commence par vérifier la validité pour $n=1$. - Puis on utilise une démonstration par récurrence. 3. **Montrer que la suite $(U_n)$ est décroissante :** - On montre que $U_{n+1} < U_n$ pour tout $n$. 4. **a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q = \frac{1}{2}$ :** - Calculer $V_{n+1}$ en fonction de $V_n$. - Montrer que $V_{n+1} = \frac{1}{2} V_n$. b) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $V_n = \frac{3}{2 + 2^{n-1}}$ : - Utiliser la formule de la suite géométrique. 5. **a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $U_n \leq \frac{3}{4}$ :** - Utiliser l'expression de $V_n$ et la définition de $U_n$. b) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $U_n \leq \left(\frac{3}{4}\right)^n$ : - Utiliser la décroissance de $(U_n)$ et la majoration précédente. --- **Détail des calculs :** 1. Montrons que $0 < U_n < \frac{3}{2}$ pour tout $n \geq 1$. - Initialisation : $U_0 = 1$, donc $0 < 1 < \frac{3}{2}$. - Supposons $0 < U_n < \frac{3}{2}$. - Alors $3 - U_n > 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} > 0$. - Donc $U_{n+1} = \frac{30}{2(3 - U_n)} = \frac{30}{2 \times (3 - U_n)} = \frac{15}{3 - U_n}$. - Comme $3 - U_n > \frac{3}{2}$, on a $U_{n+1} < \frac{15}{\frac{3}{2}} = 10$. - Mais on doit montrer $U_{n+1} < \frac{3}{2}$, donc on vérifie plus précisément : $$U_{n+1} = \frac{15}{3 - U_n} < \frac{3}{2} \iff 15 < \frac{3}{2} (3 - U_n) \iff 15 < \frac{9}{2} - \frac{3}{2} U_n,$$ ce qui est faux, donc on doit revoir l'inégalité. - En fait, on doit montrer que $U_n$ reste dans $(0, \frac{3}{2})$ par récurrence en utilisant la définition et la monotonie. 2. Montrons que $(U_n)$ est décroissante. - Calculons $U_{n+1} - U_n$ : $$U_{n+1} - U_n = \frac{15}{3 - U_n} - U_n = \frac{15 - U_n (3 - U_n)}{3 - U_n} = \frac{15 - 3 U_n + U_n^2}{3 - U_n}.$$ - Le dénominateur est positif car $U_n < \frac{3}{2} < 3$. - Le numérateur est $U_n^2 - 3 U_n + 15$ qui est toujours positif (car discriminant négatif). - Donc $U_{n+1} - U_n > 0$, ce qui contredit la décroissance. - Il faut vérifier les calculs ou la définition exacte. 3. Montrons que $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$. - Par définition, $V_n = \frac{U_n}{2 U_n - 3}$. - Calculons $V_{n+1}$ : $$V_{n+1} = \frac{U_{n+1}}{2 U_{n+1} - 3} = \frac{\frac{15}{3 - U_n}}{2 \times \frac{15}{3 - U_n} - 3} = \frac{\frac{15}{3 - U_n}}{\frac{30}{3 - U_n} - 3} = \frac{15}{30 - 3(3 - U_n)} = \frac{15}{30 - 9 + 3 U_n} = \frac{15}{21 + 3 U_n}.$$ - Exprimons $V_n$ : $$V_n = \frac{U_n}{2 U_n - 3}.$$ - On peut montrer que $V_{n+1} = \frac{1}{2} V_n$ par substitution. 4. Montrons que $V_n = \frac{3}{2 + 2^{n-1}}$. - Comme $(V_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$, on a : $$V_n = V_1 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$ - Calculons $V_1$ : $$U_1 = \frac{15}{3 - U_0} = \frac{15}{3 - 1} = \frac{15}{2} = 7.5,$$ $$V_1 = \frac{7.5}{2 \times 7.5 - 3} = \frac{7.5}{15 - 3} = \frac{7.5}{12} = \frac{5}{8}.$$ - Donc : $$V_n = \frac{5}{8} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{5}{8} \times 2^{-(n-1)} = \frac{5}{8} \times \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{5}{8 \times 2^{n-1}} = \frac{5}{2^{n+2}}.$$ - Cette expression diffère de celle donnée, donc il faut vérifier les données ou la définition. 5. Montrons que $U_n \leq \frac{3}{4}$ et en déduire $U_n \leq \left(\frac{3}{4}\right)^n$. - Utiliser la décroissance et la borne supérieure. --- **Conclusion :** Le problème est complexe et nécessite une analyse détaillée de la suite $(U_n)$ et de la suite $(V_n)$.