1. **Énoncé du problème :** Calculer la suite $(v_n)$ puis la suite $(u_n)$ en fonction de $n$, où $v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8}$. 2. **Rappel des définitions et formules :** On a la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = \sqrt[3]{\frac{2}{7}}, \quad u_{n+1} = \sqrt[3]{\frac{u_n^3 + 1}{8}}$$ On pose : $$v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8}$$ 3. **Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique et déterminer sa raison :** Calculons $v_{n+1}$ : $$v_{n+1} = \frac{7}{8} u_{n+1}^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \cdot \frac{u_n^3 + 1}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{64} u_n^3 + \frac{7}{64} - \frac{1}{8}$$ Simplifions les constantes : $$\frac{7}{64} - \frac{1}{8} = \frac{7}{64} - \frac{8}{64} = -\frac{1}{64}$$ Donc : $$v_{n+1} = \frac{7}{64} u_n^3 - \frac{1}{64}$$ Or, on peut écrire $v_n$ comme : $$v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8}$$ Multiplions $v_n$ par $\frac{1}{8}$ : $$\frac{1}{8} v_n = \frac{7}{64} u_n^3 - \frac{1}{64} = v_{n+1}$$ Donc : $$v_{n+1} = \frac{1}{8} v_n$$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = \frac{1}{8}$. 4. **Calculer $(v_n)$ puis $(u_n)$ en fonction de $n$ :** La suite géométrique $(v_n)$ a pour terme initial : $$v_0 = \frac{7}{8} u_0^3 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \cdot \frac{2}{7} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$ Donc : $$v_n = v_0 \cdot q^n = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{8} \right)^n = \left( \frac{1}{8} \right)^{n+1}$$ Ensuite, exprimons $u_n^3$ en fonction de $v_n$ : $$v_n = \frac{7}{8} u_n^3 - \frac{1}{8} \Rightarrow \frac{7}{8} u_n^3 = v_n + \frac{1}{8} \Rightarrow u_n^3 = \frac{8}{7} \left( v_n + \frac{1}{8} \right)$$ Substituons $v_n$ : $$u_n^3 = \frac{8}{7} \left( \left( \frac{1}{8} \right)^{n+1} + \frac{1}{8} \right) = \frac{8}{7} \left( \frac{1}{8^{n+1}} + \frac{1}{8} \right) = \frac{8}{7} \left( \frac{1}{8^{n+1}} + \frac{8^n}{8^{n+1}} \right) = \frac{8}{7} \cdot \frac{1 + 8^n}{8^{n+1}}$$ Simplifions : $$u_n^3 = \frac{8}{7} \cdot \frac{1 + 8^n}{8^{n+1}} = \frac{1 + 8^n}{7 \cdot 8^n}$$ Donc : $$u_n = \sqrt[3]{\frac{1 + 8^n}{7 \cdot 8^n}}$$