1. مسئله: محاسبه مجموع دنباله $$-2 - 4 + 6 - 8 - 10 + 12 - \ldots - 236 - 238 + 240$$ است. 2. ابتدا باید الگوی دنباله را شناسایی کنیم. دنباله شامل اعداد زوج از 2 تا 240 است که علامت‌ها به صورت متناوب تغییر می‌کنند. 3. دنباله را به صورت جملات $$a_n$$ بنویسیم: $$a_n = (-1)^n \times 2n$$ برای $$n=1,2,3,\ldots,120$$ چون $$240/2=120$$. 4. حال مجموع دنباله را محاسبه می‌کنیم: $$S = \sum_{n=1}^{120} (-1)^n \times 2n$$ 5. دنباله را به دو بخش تقسیم می‌کنیم: جملات با $$n$$ فرد و جملات با $$n$$ زوج. - برای $$n$$ فرد: $$(-1)^n = -1$$ و جمله $$a_n = -2n$$ - برای $$n$$ زوج: $$(-1)^n = 1$$ و جمله $$a_n = 2n$$ 6. تعداد جملات فرد و زوج هر کدام 60 است. 7. مجموع جملات فرد: $$S_{odd} = \sum_{k=1}^{60} -2(2k-1) = -2 \sum_{k=1}^{60} (2k-1)$$ مجموع اعداد فرد اول 60 عدد: $$\sum_{k=1}^{60} (2k-1) = 60^2 = 3600$$ پس: $$S_{odd} = -2 \times 3600 = -7200$$ 8. مجموع جملات زوج: $$S_{even} = \sum_{k=1}^{60} 2(2k) = 4 \sum_{k=1}^{60} k = 4 \times \frac{60 \times 61}{2} = 4 \times 1830 = 7320$$ 9. مجموع کل دنباله: $$S = S_{odd} + S_{even} = -7200 + 7320 = 120$$ 10. پاسخ نهایی: $$\boxed{120}$$