1. **Stating the problem:** Vi skal undersøge påstandene fra fire elever om løsninger til ligningen $$4x + 3y = 100$$ hvor $$x$$ og $$y$$ er hele tal større end 0. 2. **Formlen:** Ligningen er $$4x + 3y = 100$$. Vi skal finde heltal $$x,y > 0$$ som opfylder denne. 3. **Påstand 1: "4 \cdot 10 + 3 \cdot 20 = 100"** Beregn venstresiden: $$4 \cdot 10 + 3 \cdot 20 = 40 + 60 = 100$$. Påstanden er sand, da det opfylder ligningen. 4. **Påstand 2: "28 er det største tal, der kan stå i en løsning."** Vi undersøger om $$x$$ eller $$y$$ kan være større end 28. For $$x$$: $$4x \leq 100 \Rightarrow x \leq \frac{100}{4} = 25$$. For $$y$$: $$3y \leq 100 \Rightarrow y \leq \frac{100}{3} \approx 33.33$$. Da $$y$$ kan være op til 33, er 28 ikke det største tal i løsningen. Påstanden er falsk. 5. **Påstand 3: "4 \cdot 15 + 3 \cdot 10 er en af løsningerne."** Beregn venstresiden: $$4 \cdot 15 + 3 \cdot 10 = 60 + 30 = 90 \neq 100$$. Påstanden er falsk. 6. **Påstand 4: "Der er netop 7 forskellige løsninger."** Vi løser for $$y$$: $$4x + 3y = 100 \Rightarrow 3y = 100 - 4x \Rightarrow y = \frac{100 - 4x}{3}$$. For at $$y$$ er heltal og $$>0$$, skal $$100 - 4x$$ være deleligt med 3 og $$y > 0$$. Vi prøver $$x = 1,2,\ldots,25$$ og tæller antallet af løsninger: - $$x=1: y=\frac{100-4}{3}=\frac{96}{3}=32$$ (heltal og >0) - $$x=2: y=\frac{100-8}{3}=\frac{92}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=3: y=\frac{100-12}{3}=\frac{88}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=4: y=\frac{100-16}{3}=\frac{84}{3}=28$$ (heltal og >0) - $$x=5: y=\frac{100-20}{3}=\frac{80}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=6: y=\frac{100-24}{3}=\frac{76}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=7: y=\frac{100-28}{3}=\frac{72}{3}=24$$ (heltal og >0) - $$x=8: y=\frac{100-32}{3}=\frac{68}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=9: y=\frac{100-36}{3}=\frac{64}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=10: y=\frac{100-40}{3}=\frac{60}{3}=20$$ (heltal og >0) - $$x=11: y=\frac{100-44}{3}=\frac{56}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=12: y=\frac{100-48}{3}=\frac{52}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=13: y=\frac{100-52}{3}=\frac{48}{3}=16$$ (heltal og >0) - $$x=14: y=\frac{100-56}{3}=\frac{44}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=15: y=\frac{100-60}{3}=\frac{40}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=16: y=\frac{100-64}{3}=\frac{36}{3}=12$$ (heltal og >0) - $$x=17: y=\frac{100-68}{3}=\frac{32}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=18: y=\frac{100-72}{3}=\frac{28}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=19: y=\frac{100-76}{3}=\frac{24}{3}=8$$ (heltal og >0) - $$x=20: y=\frac{100-80}{3}=\frac{20}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=21: y=\frac{100-84}{3}=\frac{16}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=22: y=\frac{100-88}{3}=\frac{12}{3}=4$$ (heltal og >0) - $$x=23: y=\frac{100-92}{3}=\frac{8}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=24: y=\frac{100-96}{3}=\frac{4}{3}$$ (ikke heltal) - $$x=25: y=\frac{100-100}{3}=0$$ (ikke >0) Antal løsninger med heltal og $$>0$$ er 8 (for $$x=1,4,7,10,13,16,19,22$$). Påstanden er falsk. 7. **Påstand 5: "Alle punkter (x,y) ligger på en ret linje."** Ligningen $$4x + 3y = 100$$ er en lineær ligning, og alle løsninger ligger på linjen $$y = \frac{100 - 4x}{3}$$. Påstanden er sand. **Svar:** - Påstand 1: Sand - Påstand 2: Falsk - Påstand 3: Falsk - Påstand 4: Falsk - Påstand 5: Sand