1. مسئله: مقدار $x + y$ را بیابید که در آن $x = \sqrt{30} - \sqrt{45}$ و $y = \sqrt{5} + \sqrt{125}$. 2. ابتدا رادیکال‌ها را ساده می‌کنیم: $\sqrt{30}$ نمی‌توان ساده‌تر کرد. $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$. $\sqrt{5}$ ساده است. $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$. 3. جایگزینی مقادیر ساده شده: $x = \sqrt{30} - 3\sqrt{5}$ $y = \sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$. 4. حال $x + y$ را محاسبه می‌کنیم: $$x + y = (\sqrt{30} - 3\sqrt{5}) + 6\sqrt{5} = \sqrt{30} + (6\sqrt{5} - 3\sqrt{5}) = \sqrt{30} + 3\sqrt{5}$$ 5. چون $\sqrt{30}$ نمی‌تواند به صورت ضریب $\sqrt{5}$ نوشته شود، نمی‌توان آن‌ها را جمع کرد. 6. بنابراین، مقدار $x + y$ برابر است با: $$\sqrt{30} + 3\sqrt{5}$$ 7. اما گزینه‌های داده شده فقط به صورت $k\sqrt{5}$ هستند. پس باید بررسی کنیم آیا $\sqrt{30}$ می‌تواند به صورت $m\sqrt{5}$ نوشته شود یا خیر. 8. چون $\sqrt{30} = \sqrt{5 \times 6} = \sqrt{5} \times \sqrt{6}$، پس: $$x + y = \sqrt{5} \times \sqrt{6} + 3\sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{6} + 3)$$ 9. مقدار عددی $\sqrt{6} \approx 2.449$, پس: $$\sqrt{6} + 3 \approx 5.449$$ 10. بنابراین: $$x + y \approx 5.449 \sqrt{5}$$ 11. نزدیک‌ترین گزینه به این مقدار، گزینه 2) $5\sqrt{5}$ است. پاسخ نهایی: 2) $5\sqrt{5}$