1. مسئله: مقدار عبارت $$\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{50}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + ... + \frac{49}{50}\right) + 2$$ را بیابید. 2. ابتدا هر دو سری را جداگانه بررسی می‌کنیم. 3. سری اول: $$S_1 = \sum_{k=2}^{50} \frac{1}{k}$$ که مجموع معکوس اعداد صحیح از 2 تا 50 است. 4. سری دوم: $$S_2 = \sum_{k=2}^{50} \frac{k-1}{k}$$ که می‌توان آن را به صورت $$\sum_{k=2}^{50} \left(1 - \frac{1}{k}\right)$$ نوشت. 5. سری دوم را بازنویسی می‌کنیم: $$S_2 = \sum_{k=2}^{50} 1 - \sum_{k=2}^{50} \frac{1}{k} = 49 - S_1$$ چون تعداد جملات از 2 تا 50 برابر 49 است. 6. حال کل عبارت را جمع می‌کنیم: $$S_1 + S_2 + 2 = S_1 + (49 - S_1) + 2 = 49 + 2 = 51$$ 7. بنابراین مقدار نهایی عبارت برابر است با $$\boxed{51}$$.