1. Problema cere să calculăm suma divizorilor naturali ai numărului $22 + a$, unde $a$ este definit prin ecuația $$2015^6 - 2024^6 + 2015^6 - 2024^6 = a.$$ 2. Mai întâi, calculăm valoarea lui $a$. Observăm că expresia este $$2015^6 - 2024^6 + 2015^6 - 2024^6 = 2(2015^6 - 2024^6).$$ 3. Folosim formula diferenței de puteri pentru a factoriza $2015^6 - 2024^6$: $$2015^6 - 2024^6 = (2015 - 2024)(2015^5 + 2015^4 \cdot 2024 + \cdots + 2024^5).$$ 4. Calculăm diferența: $$2015 - 2024 = -9.$$ 5. Astfel, $$2015^6 - 2024^6 = -9 \times S,$$ unde $$S = 2015^5 + 2015^4 \cdot 2024 + 2015^3 \cdot 2024^2 + 2015^2 \cdot 2024^3 + 2015 \cdot 2024^4 + 2024^5.$$ 6. Deci, $$a = 2(2015^6 - 2024^6) = 2(-9S) = -18S.$$ 7. Observăm că $a$ este negativ, deci $$22 + a = 22 - 18S.$$ 8. Deoarece $S$ este o sumă de termeni pozitivi foarte mari, $18S$ este mult mai mare decât 22, deci $22 + a$ este un număr negativ. 9. Numărul $22 + a$ este negativ, deci nu are divizori naturali (numere naturale care îl împart). 10. Prin urmare, suma divizorilor naturali ai numărului $22 + a$ este 0. Răspuns final: $$\boxed{0}.$$