1. Planteamos el problema: sumar las fracciones algebraicas $$\frac{1}{2x - 6} + \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 + 2x - 15} + \frac{1}{x + 5}$$. 2. Identificamos los denominadores y factorizamos para encontrar el mínimo común denominador (MCD): - $$2x - 6 = 2(x - 3)$$ - $$x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)$$ - $$x + 5$$ ya está factorizado. 3. El MCD es $$2(x - 3)(x + 5)$$ porque incluye todos los factores de los denominadores. 4. Reescribimos cada fracción con el MCD como denominador: - $$\frac{1}{2(x - 3)} = \frac{(x + 5)}{2(x - 3)(x + 5)}$$ (multiplicamos numerador y denominador por $$x + 5$$) - $$\frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 5)(x - 3)} = \frac{2(x^2 + 4x + 3)}{2(x - 3)(x + 5)}$$ (multiplicamos numerador y denominador por 2) - $$\frac{1}{x + 5} = \frac{2(x - 3)}{2(x - 3)(x + 5)}$$ (multiplicamos numerador y denominador por $$2(x - 3)$$) 5. Sumamos los numeradores: $$ (x + 5) + 2(x^2 + 4x + 3) + 2(x - 3) $$ 6. Expandimos y simplificamos el numerador: $$ (x + 5) + 2x^2 + 8x + 6 + 2x - 6 = 2x^2 + (x + 8x + 2x) + (5 + 6 - 6) = 2x^2 + 11x + 5 $$ 7. La suma es: $$ \frac{2x^2 + 11x + 5}{2(x - 3)(x + 5)} $$ 8. Factorizamos el numerador para simplificar si es posible: Buscamos factores de $$2x^2 + 11x + 5$$. Probamos factorización por agrupación o fórmula cuadrática: $$a=2, b=11, c=5$$ Discriminante: $$\Delta = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81$$ Raíces: $$x = \frac{-11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm 9}{4}$$ Raíces: $$x_1 = \frac{-11 + 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{-11 - 9}{4} = \frac{-20}{4} = -5$$ Por lo tanto: $$2x^2 + 11x + 5 = 2(x + 5)(x + \frac{1}{2}) = (x + 5)(2x + 1)$$ 9. Simplificamos la fracción cancelando el factor común $$x + 5$$: $$ \frac{\cancel{(x + 5)}(2x + 1)}{2(x - 3)\cancel{(x + 5)}} = \frac{2x + 1}{2(x - 3)} $$ 10. Resultado final: $$\boxed{\frac{2x + 1}{2(x - 3)}}$$