1. Planteamos el problema: sumar las fracciones algebraicas $$\frac{1}{2x - 6} + \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 + 2x - 15} + \frac{1}{x + 5}$$ 2. Identificamos los denominadores y factorizamos para simplificar: - $2x - 6 = 2(x - 3)$ - $x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)$ - $x + 5$ ya está factorizado 3. Reescribimos la suma con denominadores factorizados: $$\frac{1}{2(x - 3)} + \frac{(x + 3)(x + 1)}{(x + 5)(x - 3)} + \frac{1}{x + 5}$$ 4. Buscamos el mínimo común denominador (MCD): $$2(x - 3)(x + 5)$$ 5. Ajustamos cada fracción para tener el MCD: - Primera fracción: ya tiene $2(x - 3)$, le falta $(x + 5)$ $$\frac{1}{2(x - 3)} = \frac{1 \cdot (x + 5)}{2(x - 3)(x + 5)} = \frac{x + 5}{2(x - 3)(x + 5)}$$ - Segunda fracción: tiene $(x - 3)(x + 5)$, le falta $2$ $$\frac{(x + 3)(x + 1)}{(x + 5)(x - 3)} = \frac{2(x + 3)(x + 1)}{2(x - 3)(x + 5)}$$ - Tercera fracción: tiene $(x + 5)$, le falta $2(x - 3)$ $$\frac{1}{x + 5} = \frac{1 \cdot 2(x - 3)}{2(x - 3)(x + 5)} = \frac{2(x - 3)}{2(x - 3)(x + 5)}$$ 6. Sumamos los numeradores sobre el común denominador: $$\frac{x + 5 + 2(x + 3)(x + 1) + 2(x - 3)}{2(x - 3)(x + 5)}$$ 7. Expandimos y simplificamos el numerador: - Expandimos $2(x + 3)(x + 1)$: $$2(x^2 + 4x + 3) = 2x^2 + 8x + 6$$ - Expandimos $2(x - 3)$: $$2x - 6$$ - Sumamos todos los términos: $$x + 5 + 2x^2 + 8x + 6 + 2x - 6 = 2x^2 + (x + 8x + 2x) + (5 + 6 - 6) = 2x^2 + 11x + 5$$ 8. Resultado final: $$\frac{2x^2 + 11x + 5}{2(x - 3)(x + 5)}$$ 9. Verificamos si el numerador se puede factorizar: Buscamos dos números que multiplicados den $2 \times 5 = 10$ y sumados $11$; son $10$ y $1$. $$2x^2 + 11x + 5 = 2x^2 + 10x + x + 5 = 2x(x + 5) + 1(x + 5) = (2x + 1)(x + 5)$$ 10. Simplificamos la fracción cancelando $(x + 5)$: $$\frac{\cancel{(2x + 1)}\cancel{(x + 5)}}{2(x - 3)\cancel{(x + 5)}} = \frac{2x + 1}{2(x - 3)}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{\frac{2x + 1}{2(x - 3)}}$$ Este es el resultado simplificado de la suma de las fracciones algebraicas dadas.