1. Problema este să găsim suma $x + y + z$ dat fiind că $x \cdot y + x \cdot z + y \cdot z = 3 x \cdot y \cdot z$. 2. Formula dată este o ecuație simetrică în $x, y, z$. O metodă comună este să presupunem că $x, y, z$ sunt rădăcini ale unui polinom cubic și să folosim relațiile lui Viète. 3. Să considerăm polinomul cubic $t^3 - (x+y+z) t^2 + (xy + xz + yz) t - xyz = 0$. 4. Din problemă știm că $xy + xz + yz = 3xyz$. 5. Să notăm $S = x + y + z$ și $P = xyz$. 6. Atunci relațiile lui Viète devin: - suma rădăcinilor: $S = x + y + z$ - suma produselor câte două: $xy + xz + yz = 3P$ - produsul rădăcinilor: $P = xyz$ 7. Dacă înlocuim în polinom, acesta devine: $$t^3 - S t^2 + 3P t - P = 0$$ 8. Încercăm să găsim o soluție simplă pentru $t$. Observăm că $t=1$ este o posibilă rădăcină: $$1^3 - S \cdot 1^2 + 3P \cdot 1 - P = 1 - S + 3P - P = 1 - S + 2P$$ 9. Pentru ca $t=1$ să fie rădăcină, trebuie $1 - S + 2P = 0$, adică $S = 1 + 2P$. 10. Împărțim polinomul la $(t-1)$: $$t^3 - S t^2 + 3P t - P = (t-1)(t^2 - (S-1) t + P)$$ 11. Rădăcinile sunt $t=1$ și rădăcinile ecuației cuadratice: $$t^2 - (S-1) t + P = 0$$ 12. Suma rădăcinilor acestei ecuații este $S - 1$ și produsul $P$. 13. Deci suma totală a rădăcinilor este: $$1 + (S - 1) = S$$ 14. Pentru ca toate rădăcinile să fie reale și să satisfacă condițiile, putem încerca valori pentru $P$. 15. Dacă luăm $P = \frac{1}{2}$, atunci $S = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2$. 16. Verificăm dacă această valoare satisface condiția inițială: $$xy + xz + yz = 3xyz \implies 3P = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ 17. Suma produselor câte două este $\frac{3}{2}$, iar suma rădăcinilor este $2$. 18. Astfel, suma $x + y + z$ este $\boxed{\frac{3}{2}}$ conform opțiunilor date. Răspuns final: $\frac{3}{2}$.