1. **Problema:** Sumar las fracciones algebraicas dadas aplicando factorización, casos notables y eliminando factores comunes. 2. **Ejercicio 1:** $$\frac{6x}{12x - 24} + 3$$ - Factorizamos el denominador: $$12x - 24 = 12(x - 2)$$ - Reescribimos la fracción: $$\frac{6x}{12(x - 2)} + 3 = \frac{6x}{12(x - 2)} + \frac{3 \cdot 12(x - 2)}{12(x - 2)}$$ - Simplificamos $$\frac{6x}{12(x - 2)} = \frac{\cancel{6}x}{\cancel{12}(x - 2)} = \frac{x}{2(x - 2)}$$ - Sumamos: $$\frac{x}{2(x - 2)} + \frac{36(x - 2)}{12(x - 2)} = \frac{x}{2(x - 2)} + \frac{36(x - 2)}{12(x - 2)}$$ - Para sumar, el mínimo común denominador (mcd) es $$12(x - 2)$$ - Convertimos $$\frac{x}{2(x - 2)} = \frac{6x}{12(x - 2)}$$ - Sumamos numeradores: $$6x + 36(x - 2) = 6x + 36x - 72 = 42x - 72$$ - Fracción resultante: $$\frac{42x - 72}{12(x - 2)}$$ - Simplificamos factor común en numerador: $$42x - 72 = 6(7x - 12)$$ - Simplificamos la fracción: $$\frac{6(7x - 12)}{12(x - 2)} = \frac{\cancel{6}(7x - 12)}{\cancel{12}2(x - 2)} = \frac{7x - 12}{2(x - 2)}$$ 3. **Ejercicio 2:** $$\frac{x + 2}{5x - 15} + 4$$ - Factorizamos denominador: $$5x - 15 = 5(x - 3)$$ - Reescribimos la suma: $$\frac{x + 2}{5(x - 3)} + \frac{4 \cdot 5(x - 3)}{5(x - 3)} = \frac{x + 2}{5(x - 3)} + \frac{20(x - 3)}{5(x - 3)}$$ - Sumamos numeradores: $$(x + 2) + 20(x - 3) = x + 2 + 20x - 60 = 21x - 58$$ - Fracción resultante: $$\frac{21x - 58}{5(x - 3)}$$ 4. **Ejercicio 3:** $$\frac{3x}{x^2 - 36} + 1$$ - Factorizamos denominador por diferencia de cuadrados: $$x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$$ - Reescribimos la suma: $$\frac{3x}{(x - 6)(x + 6)} + \frac{(x - 6)(x + 6)}{(x - 6)(x + 6)}$$ - Sumamos numeradores: $$3x + (x - 6)(x + 6)$$ - Expandimos: $$(x - 6)(x + 6) = x^2 - 36$$ - Numerador: $$3x + x^2 - 36 = x^2 + 3x - 36$$ - Fracción resultante: $$\frac{x^2 + 3x - 36}{(x - 6)(x + 6)}$$ - Factorizamos numerador: $$x^2 + 3x - 36 = (x + 9)(x - 4)$$ 5. **Ejercicio 4:** $$\frac{x - 4}{16 - x^2} + 2$$ - Factorizamos denominador por diferencia de cuadrados: $$16 - x^2 = (4 - x)(4 + x)$$ - Reescribimos la suma: $$\frac{x - 4}{(4 - x)(4 + x)} + \frac{2(4 - x)(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)}$$ - Observamos que $$x - 4 = -(4 - x)$$, entonces: $$\frac{x - 4}{(4 - x)(4 + x)} = \frac{-(4 - x)}{(4 - x)(4 + x)} = -\frac{1}{4 + x}$$ - Sumamos: $$-\frac{1}{4 + x} + \frac{2(4 - x)(4 + x)}{(4 - x)(4 + x)} = -\frac{1}{4 + x} + 2$$ - Reescribimos $$2 = \frac{2(4 + x)}{4 + x}$$ - Sumamos: $$-\frac{1}{4 + x} + \frac{2(4 + x)}{4 + x} = \frac{-1 + 2(4 + x)}{4 + x} = \frac{-1 + 8 + 2x}{4 + x} = \frac{7 + 2x}{4 + x}$$ **Respuesta final:** - Ejercicio 1: $$\frac{7x - 12}{2(x - 2)}$$ - Ejercicio 2: $$\frac{21x - 58}{5(x - 3)}$$ - Ejercicio 3: $$\frac{(x + 9)(x - 4)}{(x - 6)(x + 6)}$$ - Ejercicio 4: $$\frac{7 + 2x}{4 + x}$$