1. Das Problem lautet: Berechne den Ausdruck für $\sum_{i=1}^n i$ ohne die Variable $i$ einzeln auszuwerten. 2. Die Formel für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen ist: $$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$ 3. Diese Formel basiert auf der Beobachtung, dass man die Zahlen von 1 bis $n$ paarweise so zusammenfassen kann, dass jede Paarung die gleiche Summe ergibt. 4. Zum Beispiel, für $n=5$: $$1+2+3+4+5 = (1+5) + (2+4) + 3 = 6 + 6 + 3 = 15$$ 5. Die allgemeine Herleitung ist: $$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$ 6. Dies ist eine geschlossene Formel, die ohne Iteration oder Summation über $i$ auskommt. 7. Somit ist die Antwort für die Summe aller Zahlen von 1 bis $n$: $$\boxed{\frac{n(n+1)}{2}}$$