1. **Énoncé du problème :** Calculer le pourcentage d'augmentation lorsque la surface des nénuphars passe de 200 m² à 240 m² (augmentation de 40 m²). 2. **Formule utilisée :** Le pourcentage d'augmentation est donné par : $$\text{Pourcentage d'augmentation} = \frac{\text{augmentation}}{\text{valeur initiale}} \times 100$$ 3. **Calcul :** $$\frac{40}{200} \times 100 = \frac{\cancel{40}}{\cancel{200}} \times 100 = 0,2 \times 100 = 20\%$$ 4. **Surface occupée après augmentation :** Surface initiale + augmentation = 200 + 40 = 240 m² 5. **Progression linéaire (augmentation de 40 m² chaque semaine) :** - Après 10 semaines : $$200 + 10 \times 40 = 200 + 400 = 600 \text{ m}^2$$ - Pour savoir si 580 m² est possible : On cherche un entier $n$ tel que $$200 + 40n = 580 \Rightarrow 40n = 380 \Rightarrow n = \frac{380}{40} = 9,5$$ Comme $n$ doit être un entier (nombre de semaines), 580 m² n'est pas possible un dimanche. - Pour que l'étang soit entièrement recouvert (2000 m²) : $$200 + 40n \geq 2000 \Rightarrow 40n \geq 1800 \Rightarrow n \geq \frac{1800}{40} = 45$$ Donc, au bout de 45 semaines, l'étang sera recouvert. 6. **Progression géométrique (augmentation de 20 % chaque semaine) :** - Surface après 2 semaines : $$200 \times 1,2^2 = 200 \times 1,44 = 288 \text{ m}^2$$ - Expression générale après $n$ semaines : $$S_n = 200 \times 1,2^n$$ - Pour que l'étang soit recouvert : $$200 \times 1,2^n \geq 2000 \Rightarrow 1,2^n \geq 10$$ En regardant le tableau donné, $1,2^{14} \approx 12,84 > 10$, donc au bout de 14 semaines, l'étang sera recouvert. 7. **Résumé :** - Pourcentage d'augmentation initiale : 20 % - Surface après 1 semaine : 240 m² - Surface après 10 semaines (linéaire) : 600 m² - 580 m² n'est pas possible un dimanche (linéaire) - Étang recouvert après 45 semaines (linéaire) - Surface après 2 semaines (géométrique) : 288 m² - Expression générale (géométrique) : $S_n = 200 \times 1,2^n$ - Étang recouvert après 14 semaines (géométrique)