1. Задача: определить количество решений системы уравнений \[ \begin{cases} xy + 3 = 0, \\ 2 - y + x^2 = 0. \end{cases} \] 2. Формулы и правила: - Из первого уравнения выразим $y$: $$y = -\frac{3}{x}.$$ - Подставим во второе уравнение: $$2 - \left(-\frac{3}{x}\right) + x^2 = 0 \Rightarrow 2 + \frac{3}{x} + x^2 = 0.$$ - Умножим на $x$ (при $x \neq 0$): $$2x + 3 + x^3 = 0.$$ 3. Решение уравнения: $$x^3 + 2x + 3 = 0.$$ 4. Анализ уравнения: - Это кубическое уравнение, для которого количество действительных корней можно определить по графику или по знакам функции. - Проверим значения функции $f(x) = x^3 + 2x + 3$ в нескольких точках: - $f(-2) = (-2)^3 + 2(-2) + 3 = -8 -4 + 3 = -9 < 0$ - $f(-1) = (-1)^3 + 2(-1) + 3 = -1 -2 + 3 = 0$ - $f(0) = 0 + 0 + 3 = 3 > 0$ 5. Корень при $x = -1$ найден. - Поскольку $f(-2) < 0$ и $f(-1) = 0$, корень $x = -1$ существует. - Между $-1$ и $0$ функция меняет знак с 0 на 3, значит нет корня там. - При $x \to +\infty$, $f(x) \to +\infty$, при $x \to -\infty$, $f(x) \to -\infty$, значит всего один действительный корень. 6. Подставим $x = -1$ в $y = -\frac{3}{x}$: $$y = -\frac{3}{-1} = 3.$$ 7. Ответ: система имеет \textbf{1} решение: $(-1, 3)$. --- Итог: \textbf{Количество решений системы:} $1$.