1. **Постановка задачи:** Найти количество решений системы уравнений $$\begin{cases} xy + 3 = 0, \\ 2 - y + x^2 = 0. \end{cases}$$ 2. **Формулы и правила:** - Из первого уравнения выразим $y$: $$xy + 3 = 0 \implies y = -\frac{3}{x}.$$ - Подставим $y$ во второе уравнение: $$2 - y + x^2 = 0 \implies 2 - \left(-\frac{3}{x}\right) + x^2 = 0.$$ 3. **Подстановка и упрощение:** $$2 + \frac{3}{x} + x^2 = 0.$$ 4. **Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):** $$x \cdot 2 + x \cdot \frac{3}{x} + x \cdot x^2 = 0 \implies 2x + 3 + x^3 = 0.$$ 5. **Перепишем уравнение:** $$x^3 + 2x + 3 = 0.$$ 6. **Решение кубического уравнения:** - Проверим наличие рациональных корней по теореме Безу: возможные делители свободного члена 3: $\pm1, \pm3$. - Подставим $x = -1$: $$(-1)^3 + 2(-1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0,$$ значит $x = -1$ — корень. 7. **Разложим многочлен:** $$x^3 + 2x + 3 = (x + 1)(x^2 - x + 3).$$ 8. **Решим квадратное уравнение:** $$x^2 - x + 3 = 0,$$ дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0,$$ значит действительных корней нет. 9. **Итог:** - Единственный действительный корень $x = -1$. - Найдем $y$: $$y = -\frac{3}{x} = -\frac{3}{-1} = 3.$$ 10. **Ответ:** Система имеет ровно 1 решение: $\boxed{1}$.