1. **Énoncé du problème :** Résoudre le système linéaire suivant par la méthode de Cramer : $$\begin{cases} 2x + 3y - z = 4 \\ x + 2y + z = 3 \\ x + y + 2z = 5 \end{cases}$$ 2. **Formule utilisée :** La méthode de Cramer utilise les déterminants pour résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues. Si $D$ est le déterminant de la matrice des coefficients, et $D_x$, $D_y$, $D_z$ sont les déterminants des matrices obtenues en remplaçant respectivement la colonne des $x$, $y$, $z$ par le vecteur des constantes, alors : $$x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}$$ 3. **Calcul du déterminant $D$ :** $$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculons chaque mineur : $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 2 - 1 \times 1 = 4 - 1 = 3$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times 2 - 1 \times 1 = 2 - 1 = 1$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 - 2 \times 1 = 1 - 2 = -1$$ Donc : $$D = 2 \times 3 - 3 \times 1 + (-1) \times (-1) = 6 - 3 + 1 = 4$$ 4. **Calcul de $D_x$ (remplacer la colonne des $x$ par les constantes) :** $$D_x = \begin{vmatrix} 4 & 3 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3$$ $$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 1 \times 5 = 6 - 5 = 1$$ $$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 3 \times 1 - 2 \times 5 = 3 - 10 = -7$$ Donc : $$D_x = 4 \times 3 - 3 \times 1 + (-1) \times (-7) = 12 - 3 + 7 = 16$$ 5. **Calcul de $D_y$ (remplacer la colonne des $y$ par les constantes) :** $$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 5 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} - 4 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 1$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 1 \times 5 - 3 \times 1 = 5 - 3 = 2$$ Donc : $$D_y = 2 \times 1 - 4 \times 1 + (-1) \times 2 = 2 - 4 - 2 = -4$$ 6. **Calcul de $D_z$ (remplacer la colonne des $z$ par les constantes) :** $$D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 2 \times 5 - 3 \times 1 = 10 - 3 = 7$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 1 \times 5 - 3 \times 1 = 5 - 3 = 2$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 - 2 \times 1 = 1 - 2 = -1$$ Donc : $$D_z = 2 \times 7 - 3 \times 2 + 4 \times (-1) = 14 - 6 - 4 = 4$$ 7. **Calcul des solutions :** $$x = \frac{D_x}{D} = \frac{16}{4} = 4$$ $$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$z = \frac{D_z}{D} = \frac{4}{4} = 1$$ **Réponse finale :** $x=4$, $y=-1$, $z=1$