1. Énonçons le problème : résoudre le système d'équations différentielles vectorielles $$\mathbf{y}' = A\mathbf{y} + \mathbf{b}$$ où $$A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ et $$\mathbf{b} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$. 2. La solution générale d'un système linéaire non homogène est la somme de la solution générale du système homogène $$\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$$ et d'une solution particulière $$\mathbf{y}_p$$ du système complet. 3. Trouvons d'abord la solution homogène. Cherchons les valeurs propres $$\lambda$$ de $$A$$ en résolvant $$\det(A - \lambda I) = 0$$ : $$\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda) \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1 \\ 1 & 1-\lambda \end{pmatrix}$$ $$= (1-\lambda)((1-\lambda)^2 - 1) = (1-\lambda)((1-\lambda)^2 - 1)$$ 4. Calculons $$((1-\lambda)^2 - 1) = (1 - 2\lambda + \lambda^2) - 1 = \lambda^2 - 2\lambda$$. 5. Donc le polynôme caractéristique est $$p(\lambda) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda) = (1-\lambda)\lambda(\lambda - 2)$$. 6. Les valeurs propres sont donc $$\lambda_1 = 1$$, $$\lambda_2 = 0$$, $$\lambda_3 = 2$$. 7. Trouvons les vecteurs propres associés : - Pour $$\lambda=1$$, résolvons $$(A - I)\mathbf{v} = 0$$ : $$\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Cela donne $$v_3=0$$ et $$v_2=0$$, donc $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$. - Pour $$\lambda=0$$, résolvons $$A\mathbf{v} = 0$$ : $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Cela donne $$v_1=0$$ et $$v_2 + v_3=0$$ donc $$v_3 = -v_2$$, donc $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$. - Pour $$\lambda=2$$, résolvons $$(A - 2I)\mathbf{v} = 0$$ : $$\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Cela donne $$-v_1=0$$ donc $$v_1=0$$, et $$-v_2 + v_3=0$$, $$v_2 - v_3=0$$ donc $$v_2 = v_3$$, donc $$\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$. 8. La solution homogène est donc : $$\mathbf{y}_h = c_1 e^{t} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_3 e^{2t} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ 9. Cherchons une solution particulière constante $$\mathbf{y}_p$$ telle que $$A\mathbf{y}_p + \mathbf{b} = 0$$. 10. Posons $$\mathbf{y}_p = \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$, alors $$A\mathbf{y}_p + \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\ b \\ c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a \\ b + c \\ b + c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a \\ b + c + 1 \\ b + c + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ 11. Cela donne le système : $$a = 0$$ $$b + c + 1 = 0$$ $$b + c + 1 = 0$$ 12. La deuxième et troisième équations sont identiques, donc une seule contrainte : $$b + c = -1$$. 13. Choisissons $$b = 0$$, alors $$c = -1$$, donc $$\mathbf{y}_p = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$. 14. La solution générale du système est donc : $$\mathbf{y} = c_1 e^{t} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_3 e^{2t} \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$. Ceci conclut la résolution du système.