1. **Énoncé du problème :** Nous avons le système linéaire (S) : $$\begin{cases}-x_1 + 2x_2 - x_3 = 4 \\ 4x_1 - x_2 - x_3 = 3 \\ -x_2 + 2x_3 = -4 \end{cases}$$ 2. **Forme matricielle :** On écrit (S) sous la forme $AX = B$ avec $$A = \begin{pmatrix}-1 & 2 & -1 \\ 4 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$$ 3. **Calcul du déterminant de $A$ :** $$\det(A) = -1 \times \begin{vmatrix}-1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix}4 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} -1 \times \begin{vmatrix}4 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculons chaque mineur : $$\begin{vmatrix}-1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(2) - (-1)(-1) = -2 -1 = -3$$ $$\begin{vmatrix}4 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 \times 2 - 0 = 8$$ $$\begin{vmatrix}4 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 4 \times (-1) - 0 = -4$$ Donc : $$\det(A) = -1 \times (-3) - 2 \times 8 - 1 \times (-4) = 3 - 16 + 4 = -9$$ 4. **Matrice augmentée et rang :** La matrice augmentée est $$\left( A | B \right) = \begin{pmatrix}-1 & 2 & -1 & 4 \\ 4 & -1 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 & -4 \end{pmatrix}$$ Le rang de $A$ est 3 car $\det(A) \neq 0$, donc la matrice est inversible. Le rang de la matrice augmentée est aussi 3 car aucune ligne n'est combinaison linéaire des autres avec le terme constant. 5. **Existence et unicité de la solution :** Puisque $\det(A) \neq 0$, le système admet une unique solution. 6. **Résolution par la formule de Cramer :** On calcule $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ où $A_i$ est la matrice $A$ avec la $i$-ème colonne remplacée par $B$. - Pour $x_1$ : $$A_1 = \begin{pmatrix}4 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\det(A_1) = 4 \times \begin{vmatrix}-1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix}3 & -1 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} -1 \times \begin{vmatrix}3 & -1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix}-1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -3$$ $$\begin{vmatrix}3 & -1 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - (-1)(-4) = 6 - 4 = 2$$ $$\begin{vmatrix}3 & -1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = 3 \times (-1) - (-1)(-4) = -3 - 4 = -7$$ Donc : $$\det(A_1) = 4 \times (-3) - 2 \times 2 - 1 \times (-7) = -12 - 4 + 7 = -9$$ - Pour $x_2$ : $$A_2 = \begin{pmatrix}-1 & 4 & -1 \\ 4 & 3 & -1 \\ 0 & -4 & 2 \end{pmatrix}$$ $$\det(A_2) = -1 \times \begin{vmatrix}3 & -1 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} - 4 \times \begin{vmatrix}4 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} -1 \times \begin{vmatrix}4 & 3 \\ 0 & -4 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix}3 & -1 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = 2$$ $$\begin{vmatrix}4 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 8$$ $$\begin{vmatrix}4 & 3 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = -16$$ Donc : $$\det(A_2) = -1 \times 2 - 4 \times 8 - 1 \times (-16) = -2 - 32 + 16 = -18$$ - Pour $x_3$ : $$A_3 = \begin{pmatrix}-1 & 2 & 4 \\ 4 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & -4 \end{pmatrix}$$ $$\det(A_3) = -1 \times \begin{vmatrix}-1 & 3 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix}4 & 3 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} + 4 \times \begin{vmatrix}4 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix}-1 & 3 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = (-1)(-4) - 3(-1) = 4 + 3 = 7$$ $$\begin{vmatrix}4 & 3 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} = -16$$ $$\begin{vmatrix}4 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -4$$ Donc : $$\det(A_3) = -1 \times 7 - 2 \times (-16) + 4 \times (-4) = -7 + 32 - 16 = 9$$ 7. **Solution finale :** $$x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-9}{-9} = 1$$ $$x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-18}{-9} = 2$$ $$x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{9}{-9} = -1$$ **Réponse :** $$(x_1, x_2, x_3) = (1, 2, -1)$$