1. **Énoncé du problème :** Résoudre le système d'équations linéaires suivant : $$\begin{cases} 2x_1 - x_2 + x_3 = 15 \\ -x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 10 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 12 \end{cases}$$ 2. **Forme matricielle :** On écrit le système sous la forme $AX = B$ avec $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 15 \\ 10 \\ 12 \end{pmatrix}$$ 3. **Calcul du déterminant $\det(A)$ :** $$\det(A) = 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \times 1 - 2 \times 1 = 3 - 2 = 1$$ $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \times 1 - 2 \times 1 = -1 - 2 = -3$$ $$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \times 1 - 3 \times 1 = -1 - 3 = -4$$ Donc : $$\det(A) = 2 \times 1 - (-1) \times (-3) + 1 \times (-4) = 2 - 3 - 4 = -5$$ 4. **Calcul des solutions par la méthode de Cramer :** On calcule $\det(A_1)$, $\det(A_2)$, $\det(A_3)$ où $A_i$ est la matrice $A$ avec la $i$-ème colonne remplacée par $B$. - $A_1 = \begin{pmatrix} 15 & -1 & 1 \\ 10 & 3 & 2 \\ 12 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ $$\det(A_1) = 15 \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \times \begin{vmatrix} 10 & 2 \\ 12 & 1 \end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} 10 & 3 \\ 12 & 1 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$$ $$\begin{vmatrix} 10 & 2 \\ 12 & 1 \end{vmatrix} = 10 \times 1 - 2 \times 12 = 10 - 24 = -14$$ $$\begin{vmatrix} 10 & 3 \\ 12 & 1 \end{vmatrix} = 10 \times 1 - 3 \times 12 = 10 - 36 = -26$$ Donc : $$\det(A_1) = 15 \times 1 - (-1) \times (-14) + 1 \times (-26) = 15 - 14 - 26 = -25$$ - $A_2 = \begin{pmatrix} 2 & 15 & 1 \\ -1 & 10 & 2 \\ 1 & 12 & 1 \end{pmatrix}$ $$\det(A_2) = 2 \times \begin{vmatrix} 10 & 2 \\ 12 & 1 \end{vmatrix} - 15 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} -1 & 10 \\ 1 & 12 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix} 10 & 2 \\ 12 & 1 \end{vmatrix} = -14$$ $$\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3$$ $$\begin{vmatrix} -1 & 10 \\ 1 & 12 \end{vmatrix} = (-1) \times 12 - 10 \times 1 = -12 - 10 = -22$$ Donc : $$\det(A_2) = 2 \times (-14) - 15 \times (-3) + 1 \times (-22) = -28 + 45 - 22 = -5$$ - $A_3 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 15 \\ -1 & 3 & 10 \\ 1 & 1 & 12 \end{pmatrix}$ $$\det(A_3) = 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 1 & 12 \end{vmatrix} - (-1) \times \begin{vmatrix} -1 & 10 \\ 1 & 12 \end{vmatrix} + 15 \times \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calcul des mineurs : $$\begin{vmatrix} 3 & 10 \\ 1 & 12 \end{vmatrix} = 3 \times 12 - 10 \times 1 = 36 - 10 = 26$$ $$\begin{vmatrix} -1 & 10 \\ 1 & 12 \end{vmatrix} = -22$$ $$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -4$$ Donc : $$\det(A_3) = 2 \times 26 - (-1) \times (-22) + 15 \times (-4) = 52 - 22 - 60 = -30$$ 5. **Calcul des inconnues :** $$x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-25}{-5} = 5$$ $$x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-5}{-5} = 1$$ $$x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} = \frac{-30}{-5} = 6$$ 6. **Interprétation physique :** Les efforts horizontaux sur les trois appuis sont $x_1 = 5$, $x_2 = 1$, et $x_3 = 6$ (unités en kN). Ces valeurs assurent l'équilibre de la structure en bois lamellé-collé selon les équations données. **Réponse finale :** $$\boxed{(x_1, x_2, x_3) = (5, 1, 6)}$$