1. **Énoncé du problème :** Résoudre le système linéaire suivant selon les paramètres $m$, $\alpha$, et $\beta$ : $$\begin{cases} m x + 9 y = \alpha \\ x + m y = \beta \end{cases}$$ 2. **Formule et règles importantes :** Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, on peut utiliser la méthode de substitution, d'élimination, ou la règle de Cramer. La règle de Cramer s'applique si le déterminant du système est non nul : $$D = \begin{vmatrix} m & 9 \\ 1 & m \end{vmatrix} = m \times m - 9 \times 1 = m^2 - 9$$ Si $D \neq 0$, le système a une solution unique. 3. **Calcul du déterminant :** $$D = m^2 - 9 = (m - 3)(m + 3)$$ 4. **Cas 1 : $D \neq 0$ (c'est-à-dire $m \neq 3$ et $m \neq -3$)** Le système a une solution unique donnée par : $$x = \frac{\begin{vmatrix} \alpha & 9 \\ \beta & m \end{vmatrix}}{D} = \frac{\alpha m - 9 \beta}{m^2 - 9}$$ $$y = \frac{\begin{vmatrix} m & \alpha \\ 1 & \beta \end{vmatrix}}{D} = \frac{m \beta - \alpha}{m^2 - 9}$$ 5. **Cas 2 : $D = 0$ (c'est-à-dire $m = 3$ ou $m = -3$)** Le système peut avoir soit une infinité de solutions, soit aucune solution. - Pour $m = 3$ : Le système devient : $$\begin{cases} 3x + 9y = \alpha \\ x + 3y = \beta \end{cases}$$ On remarque que la deuxième équation multipliée par 3 donne : $$3x + 9y = 3\beta$$ Pour que le système soit compatible, il faut que : $$\alpha = 3\beta$$ Si cette condition est satisfaite, il y a une infinité de solutions. Sinon, il n'y a pas de solution. - Pour $m = -3$ : Le système devient : $$\begin{cases} -3x + 9y = \alpha \\ x - 3y = \beta \end{cases}$$ La deuxième équation multipliée par -3 donne : $$-3x + 9y = -3\beta$$ Pour que le système soit compatible, il faut que : $$\alpha = -3\beta$$ Si cette condition est satisfaite, il y a une infinité de solutions. Sinon, il n'y a pas de solution. **Résumé :** - Si $m \neq \pm 3$, solution unique : $$x = \frac{\alpha m - 9 \beta}{m^2 - 9}, \quad y = \frac{m \beta - \alpha}{m^2 - 9}$$ - Si $m = 3$, solutions infinies si $\alpha = 3\beta$, sinon aucune solution. - Si $m = -3$, solutions infinies si $\alpha = -3\beta$, sinon aucune solution.