1. **Перевірка, чи є пара чисел (1; -2) розв’язком системи:** Дано систему: $$\begin{cases} y^2 - x^2 = 3 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$$ Підставимо $x=1$, $y=-2$ у обидва рівняння. 2. Перше рівняння: $$(-2)^2 - (1)^2 = 4 - 1 = 3$$ Отже, перше рівняння виконується. 3. Друге рівняння: $$2 \cdot 1 + (-2) = 2 - 2 = 0 \neq 4$$ Отже, друга рівність не виконується. **Висновок:** пара $(1; -2)$ не є розв’язком системи. 2. **Розв’язати систему:** $$\begin{cases} x - y = 4 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \end{cases}$$ 3. З першого рівняння виразимо $x$: $$x = y + 4$$ 4. Підставимо у друге: $$\frac{1}{y+4} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}$$ 5. Зведемо до спільного знаменника: $$\frac{y}{y(y+4)} + \frac{y+4}{y(y+4)} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{y + y + 4}{y(y+4)} = \frac{2}{3}$$ $$\frac{2y + 4}{y(y+4)} = \frac{2}{3}$$ 6. Перемножимо: $$3(2y + 4) = 2 y (y + 4)$$ $$6y + 12 = 2y^2 + 8y$$ 7. Перенесемо все в один бік: $$0 = 2y^2 + 8y - 6y - 12$$ $$0 = 2y^2 + 2y - 12$$ 8. Поділимо на 2: $$0 = \cancel{2}y^2 + \cancel{2}y - \cancel{12} \Rightarrow 0 = y^2 + y - 6$$ 9. Розв’яжемо квадратне рівняння: $$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ 10. Корені: $$y_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$ 11. Знайдемо відповідні $x$: $$x_1 = 2 + 4 = 6, \quad x_2 = -3 + 4 = 1$$ 12. Відповідь: $$(x,y) = (6, 2) \text{ або } (1, -3)$$ 3. **Задача про прямокутник:** Дано: Периметр $P = 28$ м, Площа $S = 40$ м$^2$. Нехай сторони прямокутника $x$ і $y$. Периметр: $$P = 2(x + y) = 28 \Rightarrow x + y = 14$$ Площа: $$S = xy = 40$$ З першого рівняння: $$y = 14 - x$$ Підставимо у площу: $$x(14 - x) = 40$$ $$14x - x^2 = 40$$ Перенесемо все в один бік: $$x^2 - 14x + 40 = 0$$ Розв’яжемо квадратне рівняння: $$x = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{36}}{2}$$ Корені: $$x_1 = \frac{14 + 6}{2} = 10, \quad x_2 = \frac{14 - 6}{2} = 4$$ Відповідно: $$y_1 = 14 - 10 = 4, \quad y_2 = 14 - 4 = 10$$ Сторони прямокутника: $4$ м і $10$ м. 4. **Графічне розв’язання системи:** $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + 2y = 10 \end{cases}$$ Це коло з центром у початку координат і радіусом 5, та пряма. Підставимо $x = 10 - 2y$ з другого рівняння у перше: $$ (10 - 2y)^2 + y^2 = 25 $$ Розкриємо дужки: $$ 100 - 40y + 4y^2 + y^2 = 25 $$ Об’єднаємо подібні: $$ 5y^2 - 40y + 100 = 25 $$ Перенесемо 25: $$ 5y^2 - 40y + 75 = 0 $$ Поділимо на 5: $$ y^2 - 8y + 15 = 0 $$ Розв’яжемо: $$ y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} $$ Корені: $$ y_1 = 5, \quad y_2 = 3 $$ Знайдемо $x$: $$ x_1 = 10 - 2 \cdot 5 = 0, \quad x_2 = 10 - 2 \cdot 3 = 4 $$ Розв’язки: $$(0, 5) \text{ та } (4, 3)$$ 5. **Розв’язати систему:** $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 - 2xy \\ 2x - y = 6 \end{cases}$$ Перше рівняння можна переписати: $$ x^2 + y^2 + 2xy = 9 $$ Це: $$ (x + y)^2 = 9 $$ Отже: $$ x + y = \pm 3 $$ Друге рівняння: $$ y = 2x - 6 $$ Підставимо у $x + y = 3$: $$ x + (2x - 6) = 3 $$ $$ 3x - 6 = 3 $$ $$ 3x = 9 $$ $$ x = 3 $$ Тоді: $$ y = 2 \cdot 3 - 6 = 0 $$ Пара $(3, 0)$. Підставимо у $x + y = -3$: $$ x + (2x - 6) = -3 $$ $$ 3x - 6 = -3 $$ $$ 3x = 3 $$ $$ x = 1 $$ Тоді: $$ y = 2 \cdot 1 - 6 = -4 $$ Пара $(1, -4)$. **Відповіді:** 1. Ні, $(1; -2)$ не розв’язок. 2. $(6, 2)$ або $(1, -3)$. 3. Сторони $4$ м і $10$ м. 4. $(0, 5)$ та $(4, 3)$. 5. $(3, 0)$ та $(1, -4)$.