1. **Stating the problem:** Vi har funktionen $f(x) = x^3$ och en tangent till grafen i punkten där $x = a$. Tangenten, den positiva x-axeln och linjen $x = a$ bildar en triangel. Vi ska bestämma värdet på $a$ så att triangelns area är 1,5 enheter. 2. **Formel och regler:** Tangenten till $f(x)$ i punkten $x=a$ ges av: $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ Där $f'(x)$ är derivatan av $f(x)$. Derivatan av $f(x) = x^3$ är: $$f'(x) = 3x^2$$ 3. **Bestäm tangentens ekvation:** $$f'(a) = 3a^2$$ $$f(a) = a^3$$ Tangenten är alltså: $$y = 3a^2(x - a) + a^3 = 3a^2x - 3a^3 + a^3 = 3a^2x - 2a^3$$ 4. **Bestäm skärningspunkten mellan tangenten och x-axeln:** På x-axeln är $y=0$, så: $$0 = 3a^2x - 2a^3$$ $$3a^2x = 2a^3$$ $$x = \frac{2a^3}{3a^2} = \frac{2a^3}{\cancel{3a^2}} = \frac{2a}{3}$$ 5. **Triangelns bas och höjd:** Basen är avståndet på x-axeln från $x=0$ till $x=\frac{2a}{3}$, alltså bas = $\frac{2a}{3}$. Höjden är avståndet från $y=0$ till punkten på linjen $x=a$, dvs höjden är $f(a) = a^3$. 6. **Area av triangel:** Area $= \frac{1}{2} \times \text{bas} \times \text{höjd} = \frac{1}{2} \times \frac{2a}{3} \times a^3 = \frac{1}{2} \times \frac{2a}{3} \times a^3 = \frac{a^4}{3}$ 7. **Sätt arean lika med 1,5 och lös för $a$:** $$\frac{a^4}{3} = 1.5$$ $$a^4 = 1.5 \times 3 = 4.5$$ $$a = \sqrt[4]{4.5}$$ 8. **Slutligt svar:** $$a = \sqrt[4]{4.5} \approx 1.38$$