1. Problemet: Vi har funktionen $f(x) = 3x^2 + 4x$ och en tangentlinje vid punkten där $x=2$. Tangentens ekvation är $y = kx - 12$. Vi ska bestämma lutningen $k$. 2. Formeln för lutningen på tangenten till en funktion vid en punkt är derivatan av funktionen vid den punkten: $$k = f'(2)$$ 3. Derivera funktionen: $$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 + 4x) = 6x + 4$$ 4. Beräkna lutningen vid $x=2$: $$k = f'(2) = 6 \cdot 2 + 4 = 12 + 4 = 16$$ 5. Kontrollera att tangenten går genom punkten på kurvan vid $x=2$. Först beräkna $f(2)$: $$f(2) = 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = 3 \cdot 4 + 8 = 12 + 8 = 20$$ 6. Tangentens ekvation är $y = kx - 12 = 16x - 12$. Sätt in $x=2$: $$y = 16 \cdot 2 - 12 = 32 - 12 = 20$$ 7. Eftersom $y$-värdet på tangenten vid $x=2$ är samma som funktionsvärdet, stämmer lutningen $k=16$. Svar: $\boxed{16}$