1. Planteamos el problema: Encontrar los coeficientes $a$, $b$ y $c$ de la parábola $y = ax^2 + bx + c$ que pasa por el punto $(1,2)$ y es tangente a la recta $y = x$ en el origen $(0,0)$. 2. Condición de paso por el punto $(1,2)$: $$a(1)^2 + b(1) + c = 2 \implies a + b + c = 2$$ 3. Condición de tangencia en el origen: - La parábola pasa por $(0,0)$: $$a(0)^2 + b(0) + c = 0 \implies c = 0$$ - La parábola es tangente a la recta $y = x$ en $(0,0)$, por lo que sus pendientes deben ser iguales en ese punto. 4. Derivamos la parábola para obtener su pendiente: $$y' = 2ax + b$$ 5. La pendiente de la recta $y = x$ es 1 en todo punto. 6. Igualamos las pendientes en $x=0$: $$y'(0) = b = 1$$ 7. Ahora tenemos $c=0$ y $b=1$. Sustituimos en la ecuación del paso por el punto: $$a + 1 + 0 = 2 \implies a = 1$$ 8. Resultado final: $$a = 1, \quad b = 1, \quad c = 0$$ La función cuadrática es $y = x^2 + x$ que pasa por $(1,2)$ y es tangente a $y = x$ en el origen.