1. Plantegem el problema: Tenim dues funcions $f(x)=x^2 - ax - 4$ i $g(x)=\frac{x^2}{2} + b$. Volem trobar els valors de $a$ i $b$ perquè les gràfiques de $f$ i $g$ siguin tangents en $x=3$ i tinguin la mateixa recta tangent en aquest punt. 2. Perquè siguin tangents en $x=3$, les funcions han de tenir el mateix valor en aquest punt: $$f(3) = g(3)$$ 3. També, perquè tinguin la mateixa recta tangent, les derivades han de ser iguals en $x=3$: $$f'(3) = g'(3)$$ 4. Calculem $f(3)$ i $g(3)$: $$f(3) = 3^2 - a \cdot 3 - 4 = 9 - 3a - 4 = 5 - 3a$$ $$g(3) = \frac{3^2}{2} + b = \frac{9}{2} + b = 4.5 + b$$ 5. Igualem els valors: $$5 - 3a = 4.5 + b$$ 6. Calculem les derivades: $$f'(x) = 2x - a$$ $$g'(x) = x$$ 7. Avaluem les derivades en $x=3$: $$f'(3) = 2 \cdot 3 - a = 6 - a$$ $$g'(3) = 3$$ 8. Igualem les derivades: $$6 - a = 3$$ 9. Resolem per $a$: $$6 - a = 3 \Rightarrow \cancel{6} - a = \cancel{3} \Rightarrow -a = -3 \Rightarrow a = 3$$ 10. Substituïm $a=3$ a l'equació dels valors: $$5 - 3 \cdot 3 = 4.5 + b \Rightarrow 5 - 9 = 4.5 + b \Rightarrow -4 = 4.5 + b$$ 11. Resolem per $b$: $$b = -4 - 4.5 = -8.5$$ Resposta final: $a=3$ i $b=-8.5$