1. Énoncé du problème : Hélène veut commander un menu pour 24 personnes. Le prix total est composé d'un tarif de base fixe plus un coût par personne. 2. Données du problème : Pour 10 personnes, le prix est 235. Pour 15 personnes, le prix est 312.50. Pour 20 personnes, le prix est 390. Pour 30 personnes, le prix est 545. 3. Modélisation mathématique : Soit $b$ le tarif de base et $p$ le prix par personne. Le prix total pour $n$ personnes est donné par la formule : $$\text{Prix} = b + p \times n$$ 4. Utilisation des données pour former un système d'équations : Pour 10 personnes : $$b + 10p = 235$$ Pour 15 personnes : $$b + 15p = 312.50$$ 5. Soustraction des deux équations pour éliminer $b$ : $$\cancel{b} + 15p = 312.50$$ $$- (\cancel{b} + 10p = 235)$$ $$5p = 77.50$$ 6. Calcul du prix par personne $p$ : $$p = \frac{77.50}{5} = 15.5$$ 7. Calcul du tarif de base $b$ en remplaçant $p$ dans la première équation : $$b + 10 \times 15.5 = 235$$ $$b + 155 = 235$$ $$b = 235 - 155 = 80$$ 8. Calcul du prix pour 24 personnes : $$\text{Prix} = b + p \times 24 = 80 + 15.5 \times 24$$ $$= 80 + 372 = 452$$ Réponse finale : Hélène devra débourser 452.