1. Aufgabe: Vereinfache die Terme mithilfe der binomischen Formeln und dem Ausmultiplizieren von Summen. 2. Wichtige Formeln und Regeln: $$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ $$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$ $$ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $$ Regel: Verwende die passenden binomischen Formeln und das Distributivgesetz, und fasse danach gleichartige Terme zusammen. 3. a) Gegeben: $ (a+9)^2 $. Anwenden der Formel: $$ (a+9)^2 = a^2 + 2\cdot a \cdot 9 + 9^2 $$ Ausmultiplizieren und vereinfachen: $$ = a^2 + 18 a + 81 $$ Endergebnis: $$ a^2 + 18 a + 81 $$ 4. b) Gegeben: $ -(7 - 5 b)^2 + 2 b $. Zuerst das Quadrat ausrechnen: $$ (7 - 5 b)^2 = 7^2 - 2\cdot 7 \cdot 5 b + (5 b)^2 $$ Das ergibt: $$ = 49 - 70 b + 25 b^2 $$ Jetzt das Minus vor dem Quadrat anwenden und $2b$ hinzuaddieren: $$ -(49 - 70 b + 25 b^2) + 2 b = -49 + 70 b -25 b^2 + 2 b $$ Gleichartige Terme zusammenfassen: $$ = -25 b^2 + 72 b - 49 $$ Endergebnis: $$ -25 b^2 + 72 b - 49 $$ 5. c) Gegeben: $ (6 + 5 a)(6 - 5 a) $. Dies ist eine Differenz von Quadraten: $$ (6 + 5 a)(6 - 5 a) = 6^2 - (5 a)^2 $$ Rechnen: $$ = 36 - 25 a^2 $$ Endergebnis: $$ 36 - 25 a^2 $$ 6. d) Gegeben: $ (1.5 + 3 z)(-2 z - 8) $. Ausmultiplizieren per Distributivgesetz: $$ (1.5 + 3 z)(-2 z - 8) = 1.5(-2 z) + 1.5(-8) + 3 z(-2 z) + 3 z(-8) $$ Einzeln rechnen: $$ 1.5(-2 z) = -3 z $$ $$ 1.5(-8) = -12 $$ $$ 3 z(-2 z) = -6 z^2 $$ $$ 3 z(-8) = -24 z $$ Alle Terme zusammenfassen: $$ = -6 z^2 -3 z -24 z -12 $$ Gleichartige Terme zusammenfassen: $$ = -6 z^2 -27 z -12 $$ Endergebnis: $$ -6 z^2 -27 z -12 $$